Enunciado

Nos Exercícios de 47 a 50, ache o valor médio da função f no intervalo [a,b]. Nos exercícios 47 e 48, ache o valor de x onde ocorre o valor médio de f e faça um esboço.

50. f x = x 2 x - 3 ; a , b = [ 7,12 ]

Passo 1

Vamos aplicar o teorema do valor médio, fazer as continhas nesse intervalo e aí matamos a questão, ok?

Passo 2

Lembra do teorema do valor médio, ele diz o seguinte:

Se a função f for contínua no intervalo fechado [a,b], existe um número x nesse intervalo tal que:

∫ a b f ( x ) = f ( x ) ( b - a )

Agora, nós temos f ( x ) e ( b - a ) e ao isolarmos o f ( x ) fica assim

f x = 1 ( b - a ) ∫ a b f ( x )

Assim vamos calcular o valor médio de f ( x )

Passo 3

Calcular a integral de f x , a e b nós já temos, ou seja...

f x = 1 ( 12 - 7 ) ∫ 7 12 x 2 x - 3   d x

Malandramente vamos chamar u = x - 3 para fazer uma substituição. E isolando o x fica

x =   u 2 + 3 com d x = 2 u d u e o intervalo para u vai ser de 2 até 3.

Jogando na integral...

f x = 1 5 ∫ 2 3 ( u 2 + 3 ) 2 u 2 u d u (o 2 eu passo pra fora da integral)

Multiplicando todo mundo que ficou aí dentro...

f x = 2 5 ∫ 2 3 u 6 + 6 u 4 + 9 u 2 d u

f x = 2 5 u 7 7 + 6 u 5 5 + 3 u 3 2 3

f x = 2 5 ( 3 7 - 2 7 ) 7 + 6 ( 3 5 - 2 5 ) 5 + 3 ( 3 3 - 2 3 ) = 42304 175

Pronto, feio o número mas é isso aí

Resposta

f x = 42304 175

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