Enunciado

Ache o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função dada no intervalo indicado pelo método usado nos Exemplos 3 e 4 desta secção. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo.

f x = x + 5 x - 3 ; - 5 ,   2

Passo 1

Vamos seguir um passo a passo tranquilo pra resolver esses problemas, da mesma forma que o livro faz nos exemplos 3 e 4 desta seção.

  1. Determinar a derivada da função.
  2. Fazer f ' x = 0 e depois encontrar os valores de x para os quais f ' x   não existe.
  3. Achar os valores de x que satisfazem as proposições acima e estão dentro do intervalo especificado.
  4. Dos valores encontrados, o menor vai ser o mínimo absoluto e o maior será o máximo absoluto do intervalo.
  5. Esboçar o gráfico utilizando os valores de máximo e mínimo que temos.

Vamo devagarinho que dá bom!

Passo 2

Vamos calcular a derivada e ver que informação ela nos dá sobre a função.

d f d x = d d x x + 5 x - 3

Pela regra do quociente isso sai rapidinho:

d f d x = x - 3 - x + 5 x - 3 2

d f d x = - 8 x - 3 2

Vamos analisar a derivada que encontramos para conseguir mais informação sobre a nossa função. Como o termo de x está ao quadrado, ele sempre será positivo, mas temos um sinal negativo do lado de fora, ou seja, a derivada é sempre negativa! Isso quer dizer que a função é sempre decrescente. Além disso, a derivada nunca se iguala a 0 ! Então não podemos definir os extremos a partir daquele teorema.

Passo 3

Isso não irá nos impedir de encontrar o máximo e o mínimo absoluto dessa função no intervalo dado! Pensa comigo: temos uma função que está sempre diminuindo, como se fosse uma exponencial decrescente, se escolhemos um intervalo fechado a ,   b dessa função, onde estarão os máximos e os mínimos absolutos? Nos extremos! Pois como a função só faz diminuir, podemos concluir que o máximo absoluto está em a ,   f a e o mínimo absoluto está em b ,   f b !.

Então nosso máximo absoluto será em - 5 ,   f - 5 e o mínimo absoluto será em 2 ,   f 2 !

Passo 4

Calculando esses dois pontos:

f - 5 = - 5 + 5 - 5 - 3 = 0

f 2 = 2 + 5 2 - 3 = - 7

Passo 5

Daí já podemos fazer o gráfico da nossa função! Repare também que x = 3 é um polo da nossa função, ou seja, o gráfico se comportará assintoticamente ao se aproximar de x = 3 . Vamos ficar com:

Resposta

Mín. absoluto: 2 ,   - 7

Máx. absoluto: - 5 ,   0

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