Enunciado

Ache o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função dada no intervalo indicado pelo método usado nos Exemplos 3 e 4 desta secção. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo.

F x = 3 x - 4 ,   s e - 3 ≤ x < 1 x 2 - 2 , s e   1 ≤ x ≤ 3 ; - 3 ,   3

Passo 1

Como a função é condicional, ela provavelmente não segue a mesma regra das outras funções que só tem uma equação. Como ela muda de comportamento a partir de outra equação, vamos fazer o gráfico da função e ver como ele pode nos ajudar a determinar os máximos e mínimos absolutos da função.

Passo 2

Vamos começar plotando a reta da primeira equação da função.

3 x - 4

Essa reta passa pelos pontos 0 ,   - 4 e pelo ponto 1 ,   - 1 . É só ligar os dois pontos e teremos a reta:

Mas a função só considera essa reta para - 3 ≤ x < 1 . Ficamos então com:

Passo 3

Na segunda equação da função, temos uma parábola deslocada em - 2 unidades em y com concavidade para cima!

x 2 - 2

O gráfico fica:

Mas só queremos a parábola para 1 ≤ x ≤ 3 ! Então ficamos com o gráfico:

Passo 4

Juntando os dois gráficos, teremos o gráfico resultante da nossa F x :

Passo 5

Vamos verificar se a função é contínua no ponto de interseção das duas curvas:

Para a reta:

F x = 3 1 - 4 = - 1

Para a parábola:

F x = 1 2 - 2 = - 1

Então a função é contínua!

Passo 6

Do gráfico, da pra ver que os pontos de máximo absoluto e de mínimo absoluto serão nos extremos do intervalo. O mínimo absoluto vai ser - 3 ,   F - 3   e o máximo absoluto vai ser em 3 ,   F 3 . Calculando:

Mínimo:

F - 3 = 3 - 3 - 4 = - 13

Máximo:

F 3 = 3 2 - 2 = 7

Resposta

Mín. absoluto: - 3 ,   - 13

Máx. absoluto: 3 ,   7

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