Enunciado

Nos Exercícios de 11 a 28, ache ( f^(- 1) ) ' ( d )

26. f (x) = 2 x^3 + x + 20 ; d = 2

Passo 1

Para achar ( f^(- 1) ) ' ( d ) da função dada podemos fazer uso do teorema 7.2.4 do capítulo 7, seção 2 do livro que diz:

Seja f uma função monótona e continua no intervalo fechado [a, b], contendo o número c e seja f (c) = d . Se f ' ( c ) existir e f ' ( c ) != 0 , então ( f^(- 1) ) ' ( d ) existirá e

(f^(- 1))^' (d) = (1)/(f^' (c))

Passo 2

Agora vamos as contas, temos que saber quem é o c em nossa situação, mas para isso temos:

f (c) = d

=> 2 c^3 + c + 20 = 2 => 2 c^3 + c + 18 = 0

=> ( c + 2 ) ( 2 c^2 - 4 c + 9 ) = 0

A equação admite solução real quando c é:

c = - 2

Passo 3

Agora vamos calcular f ' ( c ) , com o que obtemos no passo 2 e depois aplicar a fórmula do teorema.

f (x) = 2 x^3 + x + 20

f^' (x) = 6 x^2 + 1

Assim:

f^' (- 2) = 6 (- 2)^2 + 1

= - 6 (4) + 1

= - 24 + 1 = - 23

Agora usando na fórmula do teorema:

(f^(- 1))^' (d) = (1)/(f^' (c))

Temos:

(f^(- 1))^' (2) = (1)/(- 6 (4) + 1)

= - (1)/(23)

Resposta

(f^(- 1))^' (2) = - (1)/(23)

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