Enunciado

Ache os valores de máximo e mínimo da f sujeita àsrestrições dadas. Utilize um sistema computacional algébrico para resolver o sistema de equações proveniente do uso dos multiplicadores de Lagrange. (Se seu CAS acha some uma solução, você pode necessitar do uso de comandos adicionais).

f x , y , z = y e x - z ; 9 x 2 + 4 y 2 + 36 z 2 = 36 ,   x y + y z = 1

Passo 1

Temos que

f x , y , z = y e x - 2 ,     g x , y , z = 9 x 2 + 4 y 2 + 36 z 2 = 36 ,     h ( x , y , z ) = x y + y z = 1

Então vamos calcular

∆ f = λ ∇ g + μ ∇ h

Isso implica que

y e x - 2 , e x - 2 , - y e x - z = λ 18 x , 8 y , 72 z + μ y , x + z , y  

Então,

y e x - z = 18 λ x + μ y

e x - z = 8 λ y + μ x - z

- y e x - z = 72 λ z + μ y

9 x 2 + 4 y 2 + 36 z 2 = 36

E

x y + y z = 1

Passo 2

Usando um CAS para resolver esses 5 equações simultaneamente para x , y , z , z , λ e μ (no Maple, use o comando allvalues), obtemos 4 reais soluções valiosas:

x ≈ 0,222444 ,   y ≈ - 2,157012 ,   z ≈ - 0,686049 ,   λ ≈ - 0,108584 ,   μ ≈ 2,108584

x ≈ - 1,951921 ,   y ≈ - 0 , 5455867 ,   z ≈ 0 , 119973 ,   λ ≈ 0.003141 ,   μ ≈ - 0.076238

x ≈ 0.155142 ,   y ≈ 0.904622 ,   z ≈ 0.950293 ,   λ ≈ - 0.012447 ,   μ ≈ 0.489938

x ≈ 1.138731 ,   y ≈ 1.768057 ,   z ≈ - 0.573138 ,   λ ≈ 0.317141 ,   μ ≈ 1.862675

Passo 3

Substituir esses valores em f , temos que:

f 0.222444 , - 2.157012 , - 0.686048 ≈ - 5.3506

f   - 1.951921 , - 0.545867,0.119973 ≈ - 0.0688

f   ( 0.155142,0.904622,0.950293 ) ≈ 0.4084

f   ( 1.138731,1.768057 , - 0.573138 ) ≈ 9.7938

Então

Assim, o máximo é aproximadamente 9.7938 e o mínimo é aproximadamente - 5.3506

Resposta

, o máximo é aproximadamente 9.7938 e o mínimo é aproximadamente - 5.3506

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