Enunciado

a. Máximo em uma esfera Mostre que o valor máximo de

a2b2c2 em uma esfera de raio r centrado na origem de um

sistema de coordenadas cartesianas abc é (r2/3)3.

b. Médias geométrica e aritmética Utilizando o item (a),

mostre que, para números não negativos a, b e c,

sabcd1>3 … a + b + c

3 ;

ou seja, a média geométrica de três números não negativos

é menor ou igual à sua média aritmética.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

(a) Neste exercício, mostraremos que o valor máximo de a 2 b 2 c 2 em uma esfera de raior centrada na origem do plano cartesiano é r 2 3 3 .(b) Neste exercício, mostraremos que ( a b c ) 1 / 3 ≤ a + b + c 3 .

Passo 2

(a)Para maximizar f = ( a , b , c ) = a 2 b 2 c 2 , sujeito a a 2 + b 2 + c 2 = r 2 , começaremos encontrando os gradientes das funções:

∇ f = 2 a b 2 c 2 i + 2 a 2 b c 2 j + 2 a 2 b 2 c k ∇ g = 2 a i + 2 b j + 2 c k

Passo 3

Agora, aplicando o método dos multiplicadores de Lagrange, teremos:

∇ f = λ ∇ g 2 a b 2 c 2 = 2 a λ 2 a 2 b c 2 = 2 b λ 2 a 2 b 2 c = 2 c λ

Passo 4

Das equações, observamos que:

2 a 2 b 2 c 2 = 2 a 2 λ = 2 b 2 λ = 2 c 2 λ .

que nos leva a concluir que λ = 0 ou a 2 = b 2 = c 2 .Caso 1: Se λ = 0 , então a 2 b 2 c 2 = 0 .Caso 2: se a 2 = b 2 = c 2 , então:

f ( a , b , c ) = a 2 a 2 a 2 . 

Passo 5

Levando a:

3 a 2 = r 2

Temos como resposta: f ( a , b , c ) = r 2 3 3 é o valor máximo.

Passo 6

(b)ponto ( a , b , c ) está sobre a esfera a + b + c = r 2 . Da primeira parte, sabemos que a b c = f ( a , b , c ) ≤ r 2 3 3 , reescrevendo, veremos que:

( a b c ) 1 / 3 ≤ r 2 3 = a + b + c 3

Resposta

Resposta nos passos.

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