Ache os valores para a e b tais que

lim x → 0 ⁡ s e n   3 x + a x + b x 3 x 3 = 0

Passo 1

Note que, de primeira vista tando a parte o numerador quanto o denominador, se aplicarmos o limite, vai dar zero, ou seja, uma indeterminação. Neste caso ela cai em uma das indeterminações que podem ser aplicadas L’Hopital.

Passo 2

Com isso, por L’Hopital temos:

lim x → 0 ⁡ s e n   3 x + a x + b x 3 x 3 =   lim x → 0 ⁡ 3 c o s   3 x + a + 3 b x 2 3 x 2

Por L’Hopital novamente:

=   lim x → 0 ⁡ - 9 s e n   3 x + 6 b x 6 x

Por L’Hopital:

= lim x → 0 ⁡ - 27 c o s   3 x + b 6 = - 27 + b 6

Passo 3

Sabendo que o limite acima tem que ser zero, temos:

- 27 + b 6 = 0

b = 27

Portando somente o b importa para o limite ser zero, o coeficiente a pertence a reta real.

a ∈ R

Resposta

a ∈ R ; b=27

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