Enunciado

Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê.

lim x → π 2 + ⁡ cos ⁡ x 1 - sen ⁡ x

Passo 1

E aí, galerinha! 😁

Nesse problema temos apenas que calcular o limite

lim x → π 2 + ⁡ cos ⁡ x 1 - sen ⁡ x

Parece complicado? 🤔

Nesse caso se aplicarmos o método de substituição, vamos cair em uma indeterminação 0 0 .

Portanto é necessário aplicar algum método para calcular esse limite.

A principio, como temos uma indeterminação, podemos aplicar a regra de L ' H o p i t a l .

Esse método consiste em derivar o numerador e o denominador do limite e substituir o valor da variavel...

Bora lá! 😉

Passo 2

Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente:

d cos ⁡ x d x = - sen ⁡ x

d 1 - sin ⁡ x d x = - cos ⁡ x

Substituindo no limite, temos

lim x → π 2 + ⁡ cos ⁡ x 1 - sen ⁡ x

= lim x → π 2 + ⁡ - sen ⁡ x - cos ⁡ x

lim x → π 2 + ⁡ cos ⁡ x 1 - sen ⁡ x

= lim x → π 2 + ⁡ sen ⁡ x cos ⁡ x

lim x → π 2 + ⁡ cos ⁡ x 1 - sen ⁡ x

= lim x → π 2 + ⁡ tg ⁡ x

Pelo método de substituição, chegamos em

lim x → π 2 + ⁡ cos ⁡ x 1 - sen ⁡ x = - ∞

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😉

Resposta

lim x → π 2 + ⁡ cos ⁡ x 1 - sen ⁡ x = - ∞

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Se f ' ' for contínua, mostre que lim h → 0 ⁡ f x + h - 2 f x + f ( x - h ) h 2 = f ' ' ( x )
Para quais valores de a e b a equação a seguir é válida? lim x → 0 ⁡ s e n2 x x 3 + a + b x 2 = 0
A figura mostra um setor de um círculo com ângulo central θ . Seja A θ a área do segmento entre a corda PR e o arco PR. Seja B ( θ ) a área do triângulo PQR. Encontre lim θ → 0 + ⁡ A ( θ ) / B ( θ ) .
Seja f x = x x , x ≠ 0 1 , x = 0 a) Mostre que f é contínua em 0 .b) Pesquise graficamente se f é derivável em 0 por meio de sucessivos zooms em direção ao ponto 0,1 no gráfico de f .c) Mostre que f n
Seja f x = e - 1 / x 2 , x ≠ 0 0 , x = 0 a) Use a definição de derivada para calcular f ' ( 0 ) .b) Mostre que f tem derivada de todas as ordens definidas em R . [Sugestão: Mostre primeiro por indução