Calcule a integral.

∫ 0 π 2 sen 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x d x

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizaremos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro vamos fazer algumas manipulações na expressão:

∫ sen 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x d x

= ∫ 1 4 4 sen 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x d x

Utilizando a identidade sin ⁡ 2 x = 2 sin ⁡ x cos ⁡ x :

= ∫ 1 4 2 sen ⁡ x cos ⁡ x 2 d x

= ∫ 1 4 sen 2 ⁡ 2 x d x

Utilizando de outra identidade, sin 2 ⁡ 2 x = 1 2 1 - cos ⁡ 4 x :

= ∫ 1 4 1 - cos ⁡ 4 x 2 d x

= 1 8 ∫ 1 - cos ⁡ 4 x d x

= 1 8 ∫ 1 d x + ∫ - cos ⁡ 4 x d x

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 3

Agora é fácil achar a primitiva da função, usando três expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ cos ⁡ c x d x = sen ⁡ c x c + C

∫ k d x = k x + C

Então ficamos com:

∫ 1 d x + ∫ - cos ⁡ 4 x d x = ∫ 1 d x - ∫ cos ⁡ 4 x d x

= x - sen ⁡ 4 x 4 + C

Agora vamos voltar a expressão original:

∫ sen 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x d x = 1 8 ∫ 1 d x + ∫ - cos ⁡ 4 x d x

= 1 8 x - sen ⁡ 4 x 4 + C

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Vamos lá:

∫ 0 π 2 sen 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x d x = 1 8 x - sen ⁡ 4 x 4 0 π 2

= 1 8 π 2 - sen ⁡ 4 π 2 4 - 1 8 0 - sen ⁡ 4.0 4

= 1 8 π 2 - 0 - 1 8 0 - 0

= π 16

Resposta

∫ 0 π 2 sen 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x d x = π 16

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