Enunciado

Ache o volume do sólido gerado se a região do Exercício 25 for rotacionada em torno do eixo y.

Passo 1

Bom, o exercício 25 pedia para rotacionar em torno de um eixo x = p , agora vamos rotacionar em torno do eixo y. Para calcularmos o volume desse sólido vamos usar a equação de volume por invólucro cilíndrico:

V = 2 π ∫ a b x f x d x

Passo 2

Bom, como a rotação já é no próprio eixo y, ou seja, que passa pela origem, não precisaremos ajeitar o x na equação acima, basta substituir os limites de integração, que serão x = 0 , por causa da curva y e x = p . A nossa função será a própria equação da curva, f x = ± 4 p x , como ela pode assumir valores positivos ou negativos, precisamos somar o módulo das duas para que a integral passe por toda a região, então ficamos com:

V = 2 π ∫ 0 p 2 x 4 p x d x

Passo 3

Reescrevendo a integral:

V = 2 π ∫ 0 p 2 x 4 p x d x

V = 8 π ∫ 0 p x 3 2 p 1 2 d x

Integrando:

V = 8   .   2 5 p 1 2 π x 5 2 = 16 5 p 1 2 π x 5 2 p 0

Substituindo os limites:

V = 16 5 p 1 2 π x 3

Resposta

V = 16 5 p 1 2 π x 3

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