Enunciado

Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtidos com a rotação da região em torno dos eixos das coordenadas, mas isso nem sempre ocorre. Por exemplo, quando uma região gira em torno do eixo y e anéis são usados, devemos integrar em relação a y. No entanto, pode não ser possível expressar o integrando em termos de y . Em tais casos, o método da casca permite integrar em relação a x em vez de y. Os Exercícios 29 e 30 fornecem uma compreensão clara disso.

30 – Calcule o volume do sólido obtido com a rotação da região triangular limitada pelas retas 2 y   =   x   +   4 , y   =   x e x   = 0 em torno

A – Do eixo x, utilizando o método do anel.

Passo 1

Antes de realizar o que se pede, iremos plotar o gráfico das funções dadas, assim teremos esta figura que segue os limites de 4 e 0.

Desta forma utilizaremos primeiro o método do anel em torno do eixo x e depois em torno do eixo y.

Agora acharemos as equações para o eixo x:

P r i m e i r a   :   2 y = x + 4 → y = x + 4 2 ⇒ y = x 2 + 4 2 ,   y = x 2 + 2

S e g u n d a : y = x

Passo 2

Primeiramente vamos verificar as funções para o eixo x.

R x = x 2 + 2   e   r x = x

Assim é verificado para este método.

Utilizando a fórmula:

V = π ∫ a b R x 2 - r x 2   d x

Inserindo na fórmula teremos:

V = π ∫ 0 4 x 2 + 2 2 - x 2   d x

V = π ∫ 0 4 x 2 4 + 2 x + 4 - x 2   d x

Resolvendo a integral teremos:

π x 3 12 + 2 x 2 2 + 4 x - x 3 3 0 4 = π x 3 12 + x 2 + 4 x - x 3 3 0 4

Inserindo os limites de integração, obteremos o volume:

π 4 3 12 + 4 2 + 4 ⋅ 4 - 4 3 3 - 0 3 12 + 0 2 + 4 ⋅ 0 - 0 3 3  

Resolvendo:

π 64 12 + 16 + 16 - 64 3 = π 64 12 + 32 - 64 3

Tirando o mínimo múltiplo comum e resolver as frações:

π 64 + 384 - 256 12 = 192 π 12 = 16 π u . v .

Observação: Como pediu o volume e não foi informado uma unidade de medida utilizamos o termo u . v . que significa unidade de volume.

Resposta

16 π   u . v .

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