Enunciado

Nos exercícios 31-36, determine os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões em torno dos eixos dados. Se preferir, você poderá usar anéis para resolvê-los.

31 – O triângulo com vértices ( 1, 1 ), ( 1, 2) e (2, 2) em torno: B – Do eixo y.

Passo 1

Plotamos o triângulo conforme os vértices mostrados, assim se analisarmos bem o gráfico teremos a função: y = x .

Passo 2

Primeiramente vamos verificar as funções para o eixo y.

Se analisarmos a figura em torno do eixo y, teremos que a altura é dada pela rela y   =   2 .

Assim:

E a altura deste triângulo é dada por y = 2, assim teremos a função: y = 2 - x

Assim é verificado para este método.

Utilizando a fórmula:

V = 2 π ∫ a b r a i o ⋅ a l t u r a   d x

Inserindo na fórmula teremos:

V = 2 π ∫ 1 2 x 2 - x   d x

V = 2 π ∫ 1 2 2 x - x 2   d x

Resolvendo a integral teremos:

2 π 2 x 2 2 - x 3 3 1 2 = 2 π x 2 - x 3 3 1 2

Inserindo os limites de integração, obteremos o volume:

2 π 2 2 - 2 3 3 - 1 2 - 1 3 3  

Resolvendo:

2 π 4 - 8 3 - 1 + 1 3 = 2 π 3 - 7 3 = 2 π 9 - 7 3 = 2 π 2 3

4 3 π   u . v . .

Observação: Como pediu o volume e não foi informado uma unidade de medida utilizamos o termo u . v . que significa unidade de volume.

Resposta

4 π 3   u . v .

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