Calcule o limite, se ele existir. lim x → ∞ ⁡ 1 x 2 - 2   t g - 1   1 x 1 x .

Passo 1

Note que, há uma indeterminação no denominador quando x → ∞ . Desse modo, o numerador e o denominador para tirar a indeterminação.

Logo, temos:

lim x → ∞ ⁡ 1 x 2 - 2   t g - 1   1 x 1 x =   lim x → ∞ ⁡ 1 x - 2 x   t g - 1   1 x

Passo 2

Sabendo que, o limite da soma é a soma dos limites, temos que:

lim x → ∞ ⁡ 1 x - 2 x   t g - 1   1 x =   lim x → ∞ ⁡ 1 x   -   lim x → ∞ ⁡ 2 x   t g - 1   1 x

Assim,

lim x → ∞ ⁡ 1 x = 0

Passo 3

Observe que, no segundo limite tem-se uma indeterminação ( ∞ * 0 ) , isso não pode ocorrer, e não pode aplicar L’hopital direto pois não pertence a nenhum caso.

Portanto, para aplicar L’Hopital se faz a seguinte manipulação:

lim x → ∞ ⁡ 2 x   t g - 1   1 x =   lim x → ∞ ⁡ 2   t g - 1   1 x 1 x

Com isso, entra em um dos casos que pode aplicar L’Hopital. Logo,

= l i m x → ∞ - 2 1 + x 2 - 1 x 2 =   l i m x → ∞ 2 x 2 1 + x 2

Note que, pode-se aplica novamente L’Hopital:

= l i m x → ∞ 4 x 1 + 2 x

Por L’Hopital novamente:

= l i m x → ∞ 4 2 = 2

Desse modo, no limite geral, temos:

lim x → ∞ ⁡ 1 x   -   lim x → ∞ ⁡ 2 x   t g - 1   1 x = 0 - 2 =   - 2  

Resposta

-2

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