Enunciado

41 – Uma conta (de um colar) é feita de uma esfera de raio 5, ao se perfurar diametralmente a esfera usando uma broca de raio 3.

A = Determine o volume da conta.

Passo 1

Vamos entender primeiramente como encontrar a equação:

A esfera é a resolução de um círculo:

A fórmula da circunferência é:

x - a 2 + y - b 2 = r 2

Em que a e b é o centro do circulo, porém como enunciado não informou, consideraremos a = 0   e   b = 0 ,   r = 5

x - 0 2 + y - 0 2 = 5 2

x 2 + y 2 = 25

Iremos descobrir a função:

y 2 = 25 - x 2 ⇒ y = 25 - x 2

Como a broca que perfura de raio 3, o raio menor é 3 .

Para descobrirmos os limites de integração iremos igualar a fórmula a 0:

25 - x 2 - 3 = 0

Assim:

25 - x 2 = 3 ⇒ 25 - x 2 2 = 3 2 ⇒ 25 - x 2 = 9 ⇒ - x 2 = - 25 + 9 → - x 2 = - 16

Desta forma:

x 2 = 16 ⇒ x ± 16 → x ± 4

Passo 2

Pelo método do anel:

V = ∫ a b π R x 2 - r x 2   d x

V = π ∫ - 4 4 25 - x 2 2 - 3 2   d x

V = π ∫ - 4 4 25 - x 2 - 9   d x

V = π ∫ - 4 4 - x 2 + 16   d x

Resolvendo:

V = π - x 3 3 + 16 x - 4 4

Substituindo os limites de integração:

V = π - 4 3 3 + 16 ⋅ 4 - - - 4 3 3 + 16 ⋅ - 4

V = π - 64 3 + 64 - 64 3 + 64 = π - 128 3 + 128 = π - 128 + 384 3 = π 256 3 = 256 π 3 u . v .

Resposta

256 π 3   u . v .

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