Enunciado

Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região do Exercício 32 em torno do eixo y.

Passo 1

No Exercício 32 a região era limitada pelo gráfico de y = 4 x - 1 8 x 4 , pelo eixo y e pela reta y = 6, pela imagem:

A região está entre as três linhas vermelhas na figura. Usaremos a equação do volume por invólucro cilíndrico, para fazermos a integral e a rotação dessa região:

V = 2 π ∫ a b x f x d x

Passo 2

Como o enunciado nos pede para fazer uma rotação em torno do eixo y, não precisaremos deslocar o valor de x para ajustar o integrando na equação acima. Mas como a região está acima da curva   y = 4 x - 1 8 x 4 , nossa função será a subtração da reta horizontal por essa curva:

f x = 6 - 4 x - 1 8 x 4

f x = 6 - 4 x + 1 8 x 4

Os limites de integração serão dados pelo valor de x no eixo y, ou seja, x = 0 , e o valor máximo que x pode assumir na curva x = 2 .

E a integral do volume ficará:

V = 2 π ∫ 0 2 x 6 - 4 x + 1 8 x 4 d x

Passo 3

Reescrevendo a integral acima:

V = 2 π ∫ 0 2 6 x - 4 x 2 + 1 8 x 5 d x

Integrando termo a termo:

V = 2 π 3 x 2 - 4 3 x 3 + 1 48 x 6 2 0

Substituindo os limites de integração:

V = 16 π 3

Resposta

V = 16 π 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios 31-36, determine os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões em torno dos eixos dados. Se preferir, você poderá usar anéis para resolvê-los. 31 – O triângulo com vértices (
Nos exercícios 31-36, determine os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões em torno dos eixos dados. Se preferir, você poderá usar anéis para resolvê-los. 31 – O triângulo com vértices (
Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtidos com a rotação da região em torno dos eixos das coordenadas, mas isso nem sempre ocorre. Por exemplo, quando uma região gira em
Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtidos com a rotação da região em torno dos eixos das coordenadas, mas isso nem sempre ocorre. Por exemplo, quando uma região gira em
Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtidos com a rotação da região em torno dos eixos das coordenadas, mas isso nem sempre ocorre. Por exemplo, quando uma região gira em