Enunciado

Nos exercícios 1 a 30, calcule a integral indefinida:

7. ∫ t g 6 3 x d x

Passo 1

Vamos primeiro reescrever a integral dessa maneira:

∫ t g 4 3 x   t g 2 3 x   d x

Faremos a seguinte substituição:

v = 3 x → d v = 3 d x

Ficamos com:

1 3 ∫ t g 4 v   t g 2 v   d v

E pela identidade trigonométrica:

t g 2 x + 1 = s e c 2 x

Podemos escrever a integral como:

1 3 ∫ s e c 2 v - 1   t g 4 v   d v

1 3 ∫ s e c 2 v   t g 4 v -   t g 4 v d v

Separando cada termo:

1 3 ∫ s e c 2 v   t g 4 v d v - 1 3 ∫   t g 4 v d v

Passo 2

Agora vamos resolver a primeira integral separado:

1 3 ∫ s e c 2 v   t g 4 v d v

Fazendo a seguinte substituição

u = t g v → d u = s e c 2 v d v

Isolando dv:

d v = 1 s e c 2 v d u

A integral então fica:

1 3 ∫ u 4 d u

E agora podemos integrar:

u 5 15 + c

Retornando à variável v:

t g 5 v 15 + c

E agora à variável x:

t g 5 3 x 15 + c

Passo 3

Agora resolvendo a segunda integral do Passo 1:

1 3 ∫   t g 4 v d v

Reescrevendo:

1 3 ∫   t g 2 v   t g 2 v d v

Pela identidade que usamos anteriormente, ficaremos com:

1 3 ∫   s e c 2 v - 1   t g 2 v     d v

1 3 ∫   s e c 2 v   t g 2 v -   t g 2 v     d v

Separando em duas integrais:

1 3 ∫   s e c 2 v   t g 2 v d v - 1 3 ∫   t g 2 v     d v

Resolvendo a primeira integral:

1 3 ∫   s e c 2 v   t g 2 v d v

Fazendo a substituição :

u = t g v → d u = s e c 2 v

Isolando dv:

d v = 1 s e c 2 v d u

Ficamos com:

1 3 ∫ u 2 d u

Integrando:

u 3 9 + c

Voltando à variável v:

t g 3 v 9 + c

Agora resolvendo a outra integral:

1 3 ∫   t g 2 v     d v

Aplicando de novo a relação trigonométrica:

1 3 ∫   s e c 2 v - 1     d v

Integrando cada termo:

1 3 t g v - v 3 + c

E a integral resulta em:

1 3 ∫   t g 4 v d v = t g 3 v 9 - 1 3 t g v + v 3 + c

Retornando para a variável, x ficaremos com:

t g 3 3 x 9 - 1 3 t g 3 x + x + c

Passo 4

E agora podemos substituir os dois resultados nas duas integrais do primeiro passo:

1 3 ∫ s e c 2 v   t g 4 v d v - 1 3 ∫   t g 4 v d v

t g 5 3 x 15 - t g 3 3 x 9 + 1 3 t g 3 x - x + c

Resposta

t g 5 3 x 15 - t g 3 3 x 9 + 1 3 t g 3 x - x + c

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