Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold - Capítulo 6.2 - Ex. 44

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Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região fora da curva y = x 2 e entre as retas y = 2 x - 1 e y = x + 2 em torno do eixo y .

Passo 1

A questão pede o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo y da região externa à parábola y = x 2 e entre as retas y = 2 x - 1 e y = x + 2 .

A região que será rotacionada em torno do eixo y é a região limitada pelos pontos indicados.

Para resolve esse problema vamos usar o método das cascas cilíndricas (invólucro cilíndrico):

V = ∫ a b 2 π x f x   d x

Mas neste caso, f será a diferença entre as funções (“altura”) e ainda teremos que quebrar a integral em duas: uma que f x = x 2 - 2 x - 1 = x 2 - 2 x + 1 e outra em que f x = x + 2 - 2 x - 1 = - x + 3 . Assim,

V = 2 π ∫ 1 2 x   x 2 - 2 x + 1   d x + 2 π ∫ 2 3 x   3 - x   d x

Ou ainda

V = 2 π   ∫ 1 2 x 3 - 2 x 2 + x   d x + ∫ 2 3 3 x - x 2   d x

Passo 2

Assim, fazendo as integrais:

V = 2 π   x 4 4 - 2 x 3 3 + x 2 2 1 2 + 3 x 2 2 - x 3 3 2 3

Portanto,

V = 2 π   4 - 16 3 + 2 - 1 4 + 2 3 - 1 2 + 27 2 - 9 - 6 + 8 3

Assim,

V = 2 π   - 9 - 6 3 + 26 2 - 1 4 = 2 π   - 9 - 2 + 13 - 1 4

Logo,

V = 2 π   2 - 1 4 = 2 π ⋅ 7 4 = 7 π 2

Resposta

7 π 2

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