Enunciado

42 – Um bolo em forma de anel é formado pela rotação em torno do eixo y da região limitada pleo gráfico de y = s e n ( x 2 - 1 ) e pelo eixo x ao longo do intervalo 1 ≤ x ≤   1 + π . Determine o volume do bolo.

Passo 1

Os limites de integração já foram dados no enunciado acima, portanto teremos apenas que inserir a função na integral, observe:

V = ∫ 1 1 + π 2 π x s e n x 2 - 1 d x

Utilizaremos o método de integração por substituição: u d u

u = x 2 - 1

d u = 2 x   d x

d x = 1 2 x d u

Substituindo:

∫ 1 1 + π 2 π x s e n u 2 x d u =   ∫ 1 1 + π π s e n u d u  

Podemos descobrir x em função de u:

u = x 2 - 1 ,   u = 0 ,   x 2 - 1 = 0 = x 2 = 1 ,   x = 1

Assim poderemos organizar os limites de integração para a nova função u fazendo:

x =   1 + π ,   u = x 2 - 1 ,   u = 1 + π 2 - 1 ⇒ u = 1 + π - 1 ⇒ u = π

Achamos o limite b da integração, como fizemos la em cima, para x = 1, u será 0.

Passo 2

Resolvendo a nova integral:

V = π ∫ 0 π s e n   u   d u  

V = π - cos ⁡ u 0 π ⇒ - π cos ⁡ u 0 π

Resolvendo:

V = - π cos ⁡ π - cos ⁡ 0

cos ⁡ π = - 1 → cos ⁡ 0 = 1

Passo 3

Resolvendo a expressão:

V = - π - 1 - 1

V =   - π - 2 ⇒ 2 π

Resposta

2 π   u . v

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Ache o volume do sólido gerado pela rotação em torno da reta y = - 1 da região acima do eixo x limitada pela reta 2 y = x + 3 e pelas curvas y 2 + x = 0 , y 2 - 4 x = 0 de x = - 1 a x = 1 .
Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume pela rotação da região delimitada pelas curvas em relação ao eixo dado y = x 2 ,y = 6 x - 2 x 2
Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo x x y = 1
Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume pela rotação da região delimitada pelas curvas em relação ao eixo dado y = x 4 ,y = 0 ,x = 2 eixo y
Considere s o solido obtido pela rotação da região mostrada na figura em torno no do eixo y . Explique por que é complicado usar fatias para encontrar o volume V de S. Esboce uma casca de aproximação