Enunciado

Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela curva y = s e n ( x 2 ) , pelo eixo x e pelas retas x = 1 2 π e x = π em torno do eixo y.

Passo 1

Vamos utilizar a imagem abaixo para facilitar a visualização da região delimitada:

Como será uma rotação da região, usaremos a equação de volume por invólucro cilíndrico:

V = 2 π ∫ a b x f x d x

Passo 2

Bom, nossa f(x) será a própria curva y = s e n ( x 2 ) e como a rotação é em torno do eixo y, não precisaremos mexer no x do integrando. Os limites de integração serão as duas retas verticais dadas no enunciado. Nossa equação de volume então ficará assim:

V = 2 π ∫ 1 2 π π x s e n ( x 2 ) d x

Passo 3

Agora resolvendo a integral, faremos a seguinte substituição:

u = x 2 → d u = 2 x d x

Resolvendo primeiro a integral indefinida:

π ∫ s e n u d u

Integrando:

- π c o s u + c

Voltando para a variável x:

- π cos ⁡ x 2 + c

Substituindo os limites:

V = - π cos ⁡ π - cos ⁡ π 4

V = π 2 ( 2 + 2 )

Resposta

V = π 2 ( 2 + 2 )

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A região limitada pelas curvas dadas é girada ao redor dos eixos especificados. Ache o volume do solido resultante por qualquer método y = x 2 - 3 x + 2 , y = 0 ; ao redor do eixo x