Enunciado

Se a região mostrada na figura for girada em torno do eixo y para formar um sólido, use a regra do ponto médio, com n = 5 para estimar o volume do sólido.

Passo 1

Fala aí, galerinha!

O enunciado nos dá a seguinte figura:

E pede pra a gente usar a regra do ponto médio, com n = 5 para estimar o volume do sólido formado quando giramos essa figura em torno do eixo y .

Que desafio heim?!

Passo 2

Pela regra do ponto médio temos que:

Onde:

Δ x = b - a n

x i _ = 1 2 x i - 1 + x i = p o n t o   m é d i o   d e   [ x i - 1 ,   x i ]

Agora vamos relembrar a fórmula de volume em relação ao eixo x :

V = ∫ 2 π A ( x )   d x

Onde:

A x = x f x

O que a gente fez foi multiplicar a base ( x ) pela altura, f x . Temos então:

V = ∫ 2 π x f ( x )   d x = 2 π Δ x x 1 f x 1 + x 2 f x 2 + … + x n f x n

Passo 3

Como vamos usar a regra do ponto médio, precisamos definir nosso Δ x   , vamos fazer n = 5 :

Δ x = 10 - 0 5 = 2  

O que nos diz que temos os intervalos 0,2 ,   2,4 ,   4,6 ,   6,8 ,   8,10 , em que os pontos médios são :

x 1 = 1 ,   x 2 = 3 ,   x 3 = 5 ,   x 4 = 7   x 5 = 9

Substituindo, temos:

V = ∫ 2 π x f ( x )   d x = 2 π 2 1 f x 1 + 3 f x 3 + 5 f x 5 + 7 f x 7 + 9 f x 9

Vamos trazer a imagem de novo pra ajudar:

Agora é só substituir:

V = ∫ 2 π x f ( x )   d x = 2 π { 2 1 4 - 2 + 3 5 - 1 + 5 4 - 1 + 7 4 - 2 + 9 4 - 2 }

V = 2 π ( 122 )  

V ≈ 766,5

Resposta

V ≈ 766,5

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