Enunciado

Considere T a região triangular com vértices 0,0 ,   0,1 e   ( 1,2 ) e considere V o volume do sólido obtido quando T é girado em torno da reta x = a , onde a > 1 . Expresse a em termos de V .

Passo 1

A região que estamos trabalhando está desenhada abaixo. Nós queremos expressar a em termos do volume. Primeiramente, nós precisamos encontrar o volume da casca cilíndrica. O volume para uma casaca cilíndrica pode ser escrito da seguinte forma:

V = ∫ a b ( 2 π x ) f x d x

onde, ( 2 π x ) é correspondente a circunferência, [ f x ] é a altura e d x é a espessura. Nossa região tem x variando de 0 a 1 , logo:

V = ∫ 0 1 2 π a - x 2 x d x

Passo 2

Vamos resolver essa integral!

V = ∫ 0 1 2 π a - x 2 x d x = 4 π ∫ 0 1 a x - x 2 d x

V = 4 π a x 2 2 - x 3 3 0 1

V = 4 π a 2 - 1 3

Passo 3

Queremos encontrar o valor de a em termos de V , certo? Vamos trabalhar algebricamente a expressão encontrada no passo anterior para chegarmos a resposta final!

V = 4 π a 2 - 1 3

V 4 π = a 2 - 1 3

a 2 = V 4 π + 1 3

a = 2 V 4 π + 2 3

Assim,

a = V 2 π + 2 3

Resposta

O valor de a é igual a:

a = V 2 π + 2 3

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