Enunciado

Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região limitada pelas curvas dadas ao redor dos eixos especificados. Esboce a região e a casca típica.

y = x 2 , y = 0 , x = 2 , x = 1 ao redor do eixo x = 4 .

Passo 1

Pra começar vamos entender um pouco melhor as condições que ele nos deu:

y = x 2 , y = 0 , x = 2 , x = 1

Esboçando um gráfico, temos:

Isso quer dizer que estamos querendo calcular o voluma da região limitada entre os pontos x = 2 e x = 1 . Como ele nos pede para rodar em torno do eixo   x = 4 , temos que trocar o fator x por 4 - x . Assim,

V = ∫ 1 2 2 π 4 - x x 2 d x

Logo,

V = 2 π ∫ 1 2 ( 4 x 2 - x 3 ) d x

Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c   quando   n   ≠ - 1

Passo 2

Integrando, temos:

V = 2 π 4 x 3 3 - x 4 4 1 2

Assim,

V = 2 π 4 ⋅ 2 3 3 - 2 4 4 - 4 ⋅ 1 3 3 - 1 4 4

Fazendo as contas:

V = 67 π 6

Resposta

V = 67 π 6

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