Enunciado

Use um gráfico para estimar as coordenadas de x dos pontos de interseção das curvas dadas. Então use essa informação para estimar o volume do solido obtido pela rotação ao redor do eixo y da região limitada por essas curvas.

y = x 4   , y = 3 x - x 3

Passo 1

Pra começar vamos fazer um gráfico para achar os pontos de interseção entre y = x 4 , y = 3 x - x 3 . Olha só:

A ideia vai ser achar o volume gerado pela rotação da curva não pontilhada e subtrair volume gerado pela rotação da curva pontilhada. Usando o método das cascas, vamos integrar entre os ponto x = 0 e x = 1,175 .

V = ∫ 0 1 , 175 2 π x ( 3 x - x 3 ) d x - ∫ 0 1,175 2 π x ( x 4 ) d x

Assim,

V = 2 π ∫ 0 1,175 3 x 2 - x 4 d x - 2 π ∫ 0 1,175 x 5 d x

Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c   quando   n   ≠ - 1

Passo 2

Integrando, temos:

V = 2 π 3 x 3 3 - x 5 5 0 1,175 - 2 π x 6 6 0 1,175

Aplicando entre esses pontos:

V = 2 π 1,175 3 - ( 1,175 ) 5 5 - 0 3 - 0 5 5 - 2 π 1,175 6 6 - 0 6 6

Jogando na maquinha:

V = 4 , 62

Resposta

V = 4,62

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