Enunciado

Ache o volume do sólido de revolução gerado quando a região limitada pela curva y = x 3 , pelo eixo x e pelas retas x = 1 e x = 2 é rotacionada em torno do eixo x .

Passo 1

Para entendermos como é a região e qual vai ser a integral, vamos olhar um esboço dela:

A região é entre a curva verde e a laranja, com o x indo entre as retas azul e vermelha.

Entao a região vai de x = 1 até x = 2 . Onde o raio do disco vai ser a função verde que ele deu:

r x = x 3

O volume vai ser:

V = ∫ 1 2 π x 3 2 d x

V = ∫ 1 2 π x 6 d x

Passo 2

Vamos resolver essa integral:

V = ∫ 1 2 π x 6 d x

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

∫ π x 6 d x = π x 7 7 + C

Passo 3

Voltando para a nossa integral definida:

V = ∫ 1 2 π x 6 d x = π x 7 7 1 2 = π 2 7 7 - π 1 7 7 = π 7 128 - 1 = 127 π 7

Resposta

127 π 7

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