Enunciado

De acordo com a Lei de Newton da Gravitação Universal, a força gravitacional de um objeto de massa m que tenha sido lançado verticalmente para cima da superfície da Terra é

F = m g R 2 x + R 2

onde x = x ( t ) é a distância do objeto acima da superfície no tempo t ; R , o raio da Terra, e g , a aceleração da gravidade.

Também, pela segunda lei de Newton, F = m a = m d v d t e dessa forma

m d v d t = - m g R 2 x + R 2

a) Suponha que um foguete seja lançado verticalmente para cima com uma velocidade inicial v 0 . Seja h a altura máxima acima da superfície alcançada pelo objeto. Mostre que

v 0 = 2 g R h R + h

b) Calcule v e = l i m h → ∞ v 0 . Esse limite é chamado velocidade de escapa da Terra.

c) Use R = 9960   m i l h a s e g = 32   p é s / s 2 para calcular v e em pés por segunda e em milhas por segundo.

Passo 1

O problema fala de um corpo sobre ação da força gravitacional e fornece a equação diferencial do movimento

m d v d t = - m g R 2 x + R 2

Devemos resolver essa equação! Para isso, o enunciado da uma dica:

d v d t = d v d x ⋅ d x d t = v d v d x

Assim,

m v d v d x = - m g R 2 x + R 2

Essa é uma equação separável do tipo:

v   d v = - g R 2 d x x + R 2

Passo 2

Integrando dos dois lados:

∫ v   d v = - g R 2 ∫ d x x + R 2 ⇒ v 2 2 = g R 2 x + R + C

Assim,

v 2 = 2 g R 2 x + R + 2 C

Sabemos que para x = h (altura máxima), v = 0 , de modo que

0 = 2 g R 2 h + R + 2 C ⇒ 2 C = - 2 g R 2 h + R

Assim,

v 2 = 2 g R 2 1 x + R - 1 h + R

Queremos saber v 0 que ocorre quando x = 0 . Assim,

v 0 2 = 2 g R 2 1 R - 1 h + R = 2 g R 2 R   h + R h + R - R

Logo,

v 0 2 = 2 g R h h + R

Portanto,

v 0 = 2 g R h h + R

Passo 3

Tomando o limite quando h → ∞ :

lim h → ∞ ⁡ v 0 2 = lim h → ∞ ⁡ 2 g R h h + R = lim h → ∞ ⁡ 2 g R 1 + R h = 2 g R

Assim,

v e = lim h → ∞ ⁡ v e = 2 g R

Logo,

v e = 2 g R

Passo 4

O item (c) pede para calcular a velocidade de escape usando as unidades americanas, mas como estamos no Brasil, vamos usar as unidades que o mundo inteiro usa né?

Vamos usar g = 9,8   m / s 2 e R = 6400   k m = 6400000   m :

v e = 11200   m / s

Note que é uma velocidade bem grande 😊

Resposta

v e = 2 g R

v e = 11200   m / s

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A tabela fornece a população dos Estados Unidos, em milhões, para os anos 1900 - 2000 .Desenhe um gráfico mostrando ambas as funções exponenciais das partes (a) e (b) juntas com o gráfico da população
A tabela fornece a população dos Estados Unidos, em milhões, para os anos 1900 - 2000 .Use o modelo exponencial e os dados do censo para 1980 e 1990 para prever a população em 2000. Compare com a popu
A tabela fornece estimativas da população mundial, em milhões, por dois séculos:Empregue o modelo exponencial e os dados populacionais para 1900 e 1950 para prever a população mundial em 2000. Compare
Resolva as equações diferenciais d p d t = t 2 p - p + t 2 - 1
Resolva as equações diferenciais d y d x = x e y