Enunciado

Encontre uma equação para a cônica que satisfaça as condições dadas

42-

Elipse, focos ( ± 2,0 ) , passando por ( 2,1 )

Passo 1

Por ter focos em ( ± 2,0 ) conseguimos tirar todas as informações importantes dessa elipse, conseguimos dizer que a elipse tem centro na origem, que a elipse tem eixo maior na horizontal e que tem valor de c = 0 .

Ou seja a equação tem valor de:

y 2 a 2 + x 2 b 2 = 1

E:

2 2 = b 2 - a 2

Já que para a termos um eixo maior na horizontal o valor de b nessa equação deverá ser a maior.

Podemos dizer então que:

b 2 = 4 + a 2

Passo 2

Já que a elipse passa por ( 2,1 ) então teremos a seguinte equação:

1 a 2 + 4 4 + a 2 = 1

O que dá:

4 4 + a 2 = 1 - 1 a 2 = a 2 - 1 a 2

4 a 2 = ( a 2 - 1 ) ( 4 + a 2 )

4 a 2 = 4 a 2 - 4 + a 4 - a 2

a 4 - a 2 - 4 = 0

Substituindo a 2 = x , nós teremos:

x 2 - x - 4 = 0

Essa equação nos dará raízes iguais a:

x = 1 ± 17 2

Porém x = a 2 então não podemos ter valores negativos de x logo:

a 2 = 1 + 17 2

E

b 2 = 4 + 1 + 17 2 = 9 + 17 2

Logo a equação ficará da seguinte forma:

y 2 1 + 17 2 + x 2 9 + 17 2 = 1

Resposta

2 y 2 1 + 17 + 2 x 2 9 + 17 = 1

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