Enunciado

O açúcar se dissolve em água a uma taxa proporcional à quantidade que permanece não dissolvida. Se havia 50 kg de açúcar para serem dissolvidos e ao final de 5 h ainda haviam 20 kg não dissolvidos, quanto tempo levará para que 90% do açúcar seja dissolvido?

Passo 1

Se y ( t ) for a quantidade de açúcar que ainda não foi dissolvido após t horas, o enunciado diz que a taxa de decrescimento de y é proporcional a y . Temos então a seguinte equação diferencial:

d y d t = - k y

Devemos então resolver a equação para y 0 = 50 , y 5 = 20 , para então encontrar o valor de t para o qual y t = 0,1 ⋅ 50 = 5 .

Passo 2

Vamos primeiro separar as variáveis y e t na equação:

d y y = - k d t

Agora podemos integrar os dois lados:

∫ d y y = ∫ - k d t ⇒ ln ⁡ y = - k t + C

O que nos leva a:

y = e - k t + C = A e - k t

sendo A uma constante e A = e C .

Passo 3

Como y 0 = 50 , temos:

y 0 = A e 0 = A = 50 ⇒ y = 50 e - k t

De y 5 = 20 , tiramos:

y 5 = 50 e - 5 k = 20

⇒ e - 5 k = 2 5 ⇒ ln ⁡ e - 5 k = ln ⁡ 2 5 ⇒ - 5 k = ln ⁡ 2 5 ⇒ k = - ln ⁡ 2 5 5 = 1 5 ln ⁡ 5 2

Passo 4

Nossa equação é então:

y = 50 e - 1 5 ln ⁡ 5 2 t = 50 e ln ⁡ 5 2 - t 5 = 50 2 5 t 5

Queremos o valor de t para o qual y t = 5 :

y t = 5 ⇒ 50 2 5 t 5 = 5 ⇒ 2 5 t 5 = 5 50 = 1 10

Aplicando l n dos dois lados:

ln ⁡ 2 5 t 5 = ln ⁡ 1 10 = - ln ⁡ 10 ⇒ t 5 ln ⁡ 2 5 = - ln ⁡ 10 ⇒ t = - 5 ln ⁡ 10 ln ⁡ 2 5 = 5 ln ⁡ 10 ln ⁡ 5 2 ≈ 12,56

Resposta

12,56 horas.

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