Enunciado

Em quais pontos da curva y = 1 + 40 x 3 - 3 x 5 a reta tangente tem a sua maior inclinação?

Passo 1

Opa, bora pra mais uma questão?!

O enunciado nos deu a seguinte função:

y = 1 + 40 x 3 - 3 x 5

E perguntou em quais pontos dessa curva a reta tangente tem a menor inclinação!

Vamos pensar juntos, quando calculamos a derivada de uma função e igualamos a zero podemos achar os pontos críticos da curva e então avaliar para saber se eles são máximos ou mínimos, certo?!

Beleza, mas percebe que aqui a gente quer achar o ponto mínimo da derivada?! Percebe onde eu quero chegar? Vamos ter que derivar nossa função duas vezes!

Veja só! 😊

Passo 2

Vamos derivar y pelo método da potência...

y = 1 + 40 x 3 - 3 x 5

y ' = 120 x 2 - 15 x 4

y ' é a inclinação da reta tangente, então temos y ' = m :

y ' = 120 x 2 - 15 x 4 = m

Agora vamos derivar m :

m ' = 240   x - 60 x 3

Simplificando:

m ' = 4 x - x 2

Queremos calcular as raízes de m ' , então vamos fazer:

m ' = - x + 2 x - 1

Portanto para m ' = 0 :

x = ± 2

Vamos analisar pontos antes e depois de ± 2 em m :

m = 120 x 2 - 15 x 4

Substituindo:

m - 3 = - 135

m - 2 = 240

m - 1 = 105

m 1 = 105

m 2 = 240

m 3 = - 135

Podemos perceber que x = 2 e x = - 2 são pontos de máximo. Para finalizar, substituindo os valores de x em y :

y - 2 = 1 + 40 - 2 3 - 3 - 2 5 = 223

y 2 = 1 + 40 2 3 - 3 2 5 = 225

Nos pontos ( - 2 , - 223 ) e 2,225   a tangente de y tem a maior inclinação.

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😁

Resposta

( - 2 , - 223 ) e 2,225 .

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