Enunciado

Um administrador de uma fábrica de móveis descobre que custa $   2200 para fabricar 100 cadeiras em um dia e $   4800 para produzir 300 cadeiras em um dia.

  1. Expresse o custo como uma função do número de cadeiras produzidas, supondo que ela seja linear. Então, esboce o gráfico.
  2. Qual a inclinação do gráfico e o que ela representa?
  3. Qual a intersecção com o eixo y do gráfico e o que ela representa?

Passo 1

E aí, pronto pra resolver essa questão sobre funções?

Aqui a gente tem uma historinha: Um administrador de uma fábrica de móveis que descobre que custa $   2200 para fabricar 100 cadeiras em um dia e $   4800 para produzir 300 cadeiras em um dia.

Sabendo disso, queremos algumas coisinhas:

  1. Uma fórmula linear que nos dê o custo total y da produção de x cadeiras e depois devemos esboçar um gráfico;
  2. A inclinação da reta do gráfico da letra (a) e o seu significado;
  3. A intersecção da reta no eixo y , ou seja, o valor de y quando x = 0 e o que esse valor significa!

Para descobrir a função linear a partir de dois pontos usamos as seguintes fórmulas:

y - y 1 = m x - x 1

Onde m é a inclinação da reta dada por:

m = y 1 - y 2 x 1 - x 2

Temos dois pontos que foram dados no enunciado:

2200,100

4800,300

Com isso podemos responder a letra (a) e (b). Para a letra (b) só precisamos pegar a função calculada na letra ( a ) , fazer x = 0 e calcular o y !

Hora de colocar a mão na massa:

Passo 2

Aqui temos:

P 1 = 100 ,   2200

P 2 = ( 300 ,   4800 )

Começamos calculando m :

m = y 1 - y 2 x 1 - x 2 = 2200 - 4800 100 - 300 = 13

Agora podemos escolher qualquer um dos dois pontos pra substituir na fórmula geral:

y - 2200 = 13 ( x - 100 )

y - 2200 = 13 x - 1300

Isolando o y :

y = 13 x - 1300 + 2200

Finalmente chegamos em:

y = 13 x + 900

Passo 3

Agora vamos fazer o gráfico! Já conhecemos dois pontos, além disso é interessante calcular os pontos para x = 0 e y = 0 :

y 0 = 13 0 + 900 = 900

Agora y = 0 :

y x = 13 x + 900 = 0

13 x = - 900

x = - 900 13

Só que aqui temos um problema...não existem cadeiras negativas. Então não vamos usar esse ponto!

Fazendo uma tabelinha com os pontos conhecidos:

Agora colocamos no gráfico e ligamos os pontos:

Passo 4

Agora vamos falar da inclinação da reta...Descobrimos ela lá no passo 1:

m = 13

Na função ela aparece assim:

y = 13 x + 900

Se tivermos x = 0 então y = 900 . Se x = 1 temos y = 913 , para x = 2 y = 926 . Ou seja, pra cada cadeira produzida eu gasto mais R $ 13 .

Então a inclinação da reta representa o custo adicional de cada cadeira!

Passo 5

Pra acabar, quando a curva intercepta o eixo y ?!

Quando x = 0 , lá no passo 3 vimos que:

y 0 = 13 0 + 900 = 900

Lembrando que x é o número de cadeiras. Quando x = 0 nenhuma cadeira esta sendo produzida, então R $ 900 é o custo fixo da produção das cadeiras! Nesse custo fixo pode ter itens como aluguel do local onde as cadeiras são produzidas, por exemplo!

Resposta

  1. y = 13 x + 900 . Esboço do gráfico.
  2. A inclinação é 13 e representa quanto vai custar cada cadeira adicional que for fabricada.
  3. A intersecção é ocorre quando y = 900 e representa os custos fixos que a fábrica tem para a produção das cadeiras.
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