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Solucionário completo

Exercícios Resolvidos de Um curso de Cálculo Volume 2 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi - 12.1 - 7

Admita que, para todo (x,y),

4 y ∂ f ∂ x x , y - x ∂ f ∂ y x , y = 0 .

Prove que f é constante sobre a elipse x 2 4 + y 2 = 1 .

(Sugestão. Observe que a função g do exercício anterior fornece os valores de f sobre a elipse)

Passo 1

g t = f 2 c o s t , s e n t , essa curva é a parametrização da elipse, então, podemos resolver como no exercício anterior, mudando apenas o valor.

g ' t = f 2 c o s t , s e n t '

g '   t = ∂ f ∂ x 2 c o s t , s e n t ⋅ - 2 s e n t + ∂ f ∂ y 2 c o s t , s e n t ⋅ c o s t

(2cost,sent) = (x,y)

g '   t = ∂ f ∂ x x , y ⋅ - 2 y + ∂ f ∂ y x , y ⋅ x 2

2 ⋅ g '   t = 2 ⋅ ∂ f ∂ x x , y ⋅ - 2 y + ∂ f ∂ y x , y ⋅ x 2

g '   t = 1 2 ∂ f ∂ x x , y ⋅ - 4 y + ∂ f ∂ y x , y ⋅ x

g '   t = - 1 2 ∂ f ∂ x x , y ⋅ 4 y + ∂ f ∂ y x , y ⋅ - x

Pelo enunciado,

4 y ∂ f ∂ x x , y - x ∂ f ∂ y x , y = 0

Então,

g '   t = - 1 2 0

g '   t = 0

Segue que f é constante sobre a elipse.

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Resposta

g '   t = 0

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