Seja F(r, theta, t) = f(x, y, t) onde x = r \* cos \* theta e y = rsen(theta) . Suponha que (c != 0 constante)

d^2f/dt^2 = c^2[(d^2f/dx^2) + (d^2f/dy^2)]

Mostre que

(∂^2F / ∂t^2) = c^2 [ (∂^2F / ∂r^2) + (1 / r^2)(∂^2F / ∂theta^2) + (1 / r)(∂F / ∂r) ]

Passo 1

Temos que mostrar a igualdade acima. Nossa ideia vai ser a seguinte:

Como precisamos que

∂ 2 f ∂ t 2 = c 2     ∂ 2 f ∂ x 2 +   ∂ 2 f ∂ y 2 e ∂ 2 f ∂ t 2 = c 2   ∂ 2 F ∂ r 2 + 1 r 2   ∂ 2 F ∂ θ 2 + 1 r   ∂ 2 F ∂ r

Então,

c 2     ∂ 2 f ∂ x 2 +   ∂ 2 f ∂ y 2 =   c 2   ∂ 2 F ∂ r 2 + 1 r 2   ∂ 2 F ∂ θ 2 + 1 r   ∂ 2 F ∂ r

O que significa dizer que devemos mostrar que

      ∂ 2 f ∂ x 2 +   ∂ 2 f ∂ y 2 =     ∂ 2 F ∂ r 2 + 1 r 2   ∂ 2 F ∂ θ 2 + 1 r   ∂   F ∂ r    

Resposta

Usando a regra da cadeia, a derivada com respeito a r temos

∂   F ∂ r =   ∂   f ∂ x ⋅ ∂ x ∂ r +     ∂   f ∂ y ⋅ ∂ y ∂ r +   ∂   f ∂ t ⋅ ∂ t ∂ r

Substituindo os valores sabendo que = r c o s θ e y = r s e n θ

∂   F ∂ r =   ∂   f ∂ x ⋅ ∂ x ∂ r +     ∂   f ∂ y ⋅ ∂ y ∂ r =     ∂   f ∂ x ⋅ c o s θ +   ∂   f ∂ y ⋅ s e n θ  

Agora, vamos calcular a segunda derivada

∂ 2 F ∂ r 2 =     ∂ 2 f   ∂ x 2 ⋅ c o s θ ⋅ ∂ x ∂ r +   ∂ 2 F ∂ x ∂ y     ⋅ s e n θ ⋅ ∂ y ∂ r +       ∂ 2 F ∂ y ∂ x     ⋅ c o s θ ⋅ ∂ y ∂ r + ∂ 2 f   ∂ y 2 ⋅ s e n θ ⋅   ∂ y ∂ r  

=   ∂ 2 f   ∂ x 2 ⋅ cos 2 ⁡ θ + ∂ 2 F ∂ x ∂ y     ⋅ s e n θ ⋅   c o s θ +   ∂ 2 F ∂ y ∂ x     ⋅ c o s θ   ⋅ s e n θ + ∂ 2 f   ∂ y 2 ⋅ s e n 2 θ  

(substituindo os valores)

Calculando a derivada com respeito a θ

∂   F ∂ θ   =   ∂   f ∂ x ⋅ ∂ x ∂ θ +     ∂   f ∂ y ⋅ ∂ y ∂ θ =   -   ∂   f ∂ x ⋅ r   s e n θ +   ∂   f ∂ y ⋅ r   c o s θ

Calculando a segunda derivada,

∂ 2 F ∂ θ 2 =     ∂ 2 f   ∂ θ 2 ⋅ r   s e n θ ⋅ ∂ x ∂ θ +   ∂ 2 F ∂ x ∂ y     ⋅ r   c o s θ ⋅ ∂ y ∂ θ +       ∂ 2 F ∂ y ∂ x     ⋅ r   s e n θ ⋅ ∂ y ∂ θ + ∂ 2 f   ∂ y 2 ⋅ r   c o s θ ⋅   ∂ y ∂ θ +   ∂   f ∂ x ⋅ ∂ x ∂ θ +     ∂   f ∂ y ⋅ ∂ y ∂ θ  

=   ∂ 2 f   ∂ θ 2 ⋅ r 2   s e n 2 θ +   ∂ 2 F ∂ x ∂ y     ⋅ r 2 cos   ⁡ θ   s e n θ +       ∂ 2 F ∂ y ∂ x     ⋅ r 2   s e n θ   c o s θ + ∂ 2 f   ∂ y 2 ⋅ r 2 cos 2 ⁡ θ +     ∂   f ∂ x ⋅ r   c o s θ +   ∂   f ∂ y ⋅ r s e n θ  

(substituindo os valores)

Agora é so multiplicar pelos fatores que faltam e somar. Fazendo isso, teremos que .

∂ 2 F ∂ r 2 + 1 r 2   ∂ 2 F ∂ θ 2 + 1 r   ∂   F ∂ r =     ∂ 2 f ∂ x 2 +   ∂ 2 f ∂ y 2  

E pelo o que conversamos no item 1, tá mostardo hihi.

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