Enunciado

Duas variáveis dependentes

Encontre ∂x/∂u e ∂y/∂u se as equações u   =   x ²   –   y ² e y   =   x ²   –   y definem x e y como funções das variáveis independentes u e y, e as derivadas parciais existem. (Veja a sugestão do Exercício 69.) Em seguida, seja s   =   x ²   +   y ² e encontre ∂s/∂u.

Passo 1

Seguimos a dica dada na tarefa. Nosso procedimento aqui é direto. Recebemos 22 funções implícitas e sabemos que x=x(u,v) e y=y(u,v). Somos obrigados a encontrar x u   e   y u .

Passo 2

Vamos primeiro relembrar como diferenciamos as funções implícitas. Nesse caso, como x é uma função de u e v, a diferenciação implícita de x em relação a u significa que tratamos todos os termos que não contêm u, x ou y como uma constante. Quando encontramos x ou y, diferenciamos como se fosse igual a u e adicionamos x u ou y u como um termo adicional.

u = x 2 + y 2

v = x 2 - y

1 = 2 x x u + 2 y y u

0 = 2 x x u - y u

Mais uma vez, observe como usamos a diferenciação implícita nos termos do lado direito. Para elaborar ainda mais, na primeira equação sabemos que tanto x quanto y são funções de x e y. Diferenciamos a expressão como uma soma de duas funções. A diferenciação implícita de x 2 é x 2 ' x u = 2 x x u . Pela mesma analogia, diferenciamos y 2 .

2 x x u = - y u → x u = y u 2 x

1 = y u - 2 y y u → y u = 1 1 - 2 y

x u = 1 2 x 1 - 2 y

Resposta

Ver o desenvolvimento.

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12. Considere a função F (x , y) = f ((x)/(y) , (y)/(x)) . Mostre quex (del F)/(del x) + y (del F)/(del v) = 0
10. Seja z = f ( u + 2 v ,u 2 - v ) . Expresse ∂ z ∂ ue∂ z ∂ v em termo de derivadas parciais de f
20. f ( x , y , z ) e g ( x , y ) são funções diferenciáveis tais que, para todo ( x , y ) no domínio de g . f x , y ,g x , y = 0 . Suponha g 1,1 = 3 , ∂ f ∂ x 1,1 , 3 = 2 , ∂ f ∂ y 1,1 , 3 = 5 e ∂ f
22. Seja g x , y = x f ( x 2 + y , 2 y ,2 x - y ) . Expresse ∂ g ∂ x e ∂ g ∂ y em termos das derivadas parciais de f
15. Seja g dada por g (t) = f (x , y) s e n ( 3 t ) , onde x = 2 t e y = 3 t . Verifique queg^' (t) = 3 f (x , y) cos (3 t) + s e n (3 t) [2 (del f)/(del x) (x , y) + 3 (del f)/(del y) (x , y)]