Enunciado

18)

(a) Encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente.

(b) Encontre os valores máximo e mínimo local de f .

(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão:

f x = x   e - x

Passo 1

Item a:

Primeiramente vamos obter a derivada de f :

f ' x = 1 2 x   e - x + x - e - x

f ' x = 1 2 x   e - x - x e - x

Passo 2

Uma função é crescente onde sua derivada é positiva, ou seja:

f ' x > 0

1 2 x   e - x - x e - x > 0

1 2 x   - x > 0

1 2 x ( x )   - x ( x ) > 0

1 2 - x > 0

- 1 2 + x < 0

0 < x < 1 2

Passo 3

Uma função é decrescente onde sua derivada é negativa, ou seja:

f ' x < 0

1 2 x   e - x - x e - x < 0

1 2 x   - x < 0

1 2 x x - x x   < 0

1 2 - x < 0

- 1 2 + x > 0

x > 1 2

Logo, f é crescente em 0 , 1 2 e decrescente em 1 2 , ∞ .

Passo 4

Item b:

Para máximos e mínimos locais devemos achar os pontos críticos:

f ' x = 0

1 2 x   e - x - x e - x = 0

1 2 x   - x = 0

1 2 x x - x x = 0

1 2 - x = 0

x = 1 2

O único ponto crítico é x = 1 2 , e como f cresce até esse ponto e decresce a partir dele, então x = 1 2 é uma máximo local.

Passo 5

Primeiramente vamos obter a derivada segunda de f :

f ' '   x = 1 2 - 1 2 x 1 2 e - x + x - 1 2 - e - x - 1 2 x - 1 2 e - x + x 1 2 - e - x  

f ' '   x = 1 2 - x 2 e x - 1 x e x - 1 2 x e x - x e x

f ' '   x = - x 4 e x - 1 2 x e x - 1 2 x e x + x e x

f ' '   x = 3 x 4 e x - 1 x e x

f ' '   x = 3 x - 4 4 x e x

Passo 6

A concavidade de uma função é para cima se sua derivada segunda for maior que zero:

f ' ' x > 0

3 x - 4 4 x e x > 0

3 x - 4 > 0

x > 4 3

A concavidade de uma função é para baixo se sua derivada segunda for menor que zero:

f ' ' x < 0

3 x - 4 4 x e x < 0

3 x - 4 < 0

x < 4 3

Quando a derivada segunda de uma função é zero em um ponto então esse ponto é o ponto de inflexão, logo:

f ' ' x = 0

3 x - 4 4 x e x = 0

3 x - 4 = 0

x = 4 3

Portanto, f possui concavidade para baixo no intervalo 0 , 4 3 , concavidade para cima no intervalo 4 3 , ∞ e ponto de inflexão em x = 4 3 .

Resposta

(a) f é crescente em 0 , 1 2 e decrescente em 1 2 , ∞ .

(b) x = 1 2 é uma máximo local

(c) f possui concavidade para baixo no intervalo 0 , 4 3 , concavidade para cima no intervalo 4 3 , ∞ e ponto de inflexão em x = 4 3 .

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