Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.3 - Ex. 18
18)
(a) Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente.
(b) Encontre os valores máximo e mínimo local de .
(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão:
Passo 1
Item a:
Primeiramente vamos obter a derivada de :
Passo 2
Uma função é crescente onde sua derivada é positiva, ou seja:
Passo 3
Uma função é decrescente onde sua derivada é negativa, ou seja:
Logo, é crescente em e decrescente em .
Passo 4
Item b:
Para máximos e mínimos locais devemos achar os pontos críticos:
O único ponto crítico é , e como cresce até esse ponto e decresce a partir dele, então é uma máximo local.
Passo 5
Primeiramente vamos obter a derivada segunda de :
Passo 6
A concavidade de uma função é para cima se sua derivada segunda for maior que zero:
A concavidade de uma função é para baixo se sua derivada segunda for menor que zero:
Quando a derivada segunda de uma função é zero em um ponto então esse ponto é o ponto de inflexão, logo:
Portanto, possui concavidade para baixo no intervalo , concavidade para cima no intervalo e ponto de inflexão em .
Resposta
(a) é crescente em e decrescente em .
(b) é uma máximo local
(c) possui concavidade para baixo no intervalo , concavidade para cima no intervalo e ponto de inflexão em .