Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.

lim x → 2 ⁡ g x - g 2 x - 2   o n d e   g x = x     s e     x ≥ 2 x 2 2     s e     x < 2

Passo 1

Temos que ver se os limite laterais são iguais, caso sejam, o limite existe e possui aquele valor:

Se lim x → p ⁺ ⁡ f x = lim x → p ⁻ ⁡ f x = L então lim x → p ⁡ f x = L

Vamos lá, vamos analisar o limite:

lim x → 2 ⁺ ⁡ g x - g 2 x - 2

Temos aqui na expressão do limite que como ele quer x tendendo a 2 pela direita, vamos pegar a condição de x ≥ 2 de g x e substituir no limite:

g x = x

g 2 = x = 2

lim x → 2 ⁺ ⁡ g x - g 2 x - 2 = lim x → 2 ⁺ ⁡ x - 2 x - 2 = lim x → 1 + ⁡ 1 = 1

Passo 2

Agora com   x tendendo a 2 pela esquerda, vamos pegar a condição de x < 2 de g x e substituir no limite:

g x = x 2 2

g 2 = x 2 2 = 2 2 2 = 4 2 = 2

lim x → 2 ⁻ ⁡ g x - g 2 x - 2 = lim x → 2 ⁻ ⁡ x 2 2 - 2 x - 2

Aqui vamos tirar o mínimo do numerador:

lim x → 2 ⁻ ⁡ x 2 2 - 2 x - 2 = lim x → 2 ⁻ ⁡ x 2 - 4 2 x - 2 = lim x → 2 ⁻ ⁡ x 2 - 4 2 ∙ 1 x - 2

No denominador temos um polinômio do segundo grau, da seguinte forma x 2 - 4 , então podemos usar a seguinte fórmula e achar o valor de a e b :

a 2 - b 2 = a + b a - b

De cara sabemos que a = x e b = 2 , assim vamos ficar com:

a 2 - b 2 = a + b a - b → x 2 - 2 2 = x + 2 x - 2

Vamos ter então o limite:

lim x → 2 ⁻ ⁡ x 2 - 4 2 ∙ 1 x - 2 = lim x → 2 ⁻ ⁡ x + 2 x - 2 2 ∙ 1 x - 2 = lim x → 2 ⁻ ⁡ x + 2 2 ∙ 1 1 = lim x → 2 ⁻ ⁡ x + 2 2

Passo 3

Agora é só aplicar o valor do limite:

lim x → 2 - ⁡ x + 2 2 = 2 + 2 2 = 4 2 = 2

Temos então que:

lim x → 2 ⁡ g x - g 2 x - 2 não existe, pois lim x → 2 ⁺ ⁡ g x - g 2 x - 2 ≠ lim x → 2 ⁻ ⁡ g x - g 2 x - 2 .

Resposta

lim x → 2 ⁡ g x - g 2 x - 2 não existe

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