Enunciado

Determine o limite infinito.

lim x → 1 ⁡ 2 - x x - 1 2

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... o enunciado nos dá o seguinte limite:

lim x → 1 ⁡ 2 - x x - 1 2

Ainda de acordo com o enunciado, o resultado desse limite é um número que tende ao infinito.

Mas qual infinito? Positivo ou negativo??

Para descobrirmos isso, teremos que estudar bem o nosso limite.

Como assim??

Bom... basicamente vamos ver o que acontece com o sinal do numerador e do denominador quando x → 1 .

Com os sinais de cada um, podemos definir o sinal geral do nosso limite!!

Ah, a gente pode fazer isso por conta da seguinte propriedade:

lim x → 1 ⁡ 2 - x x - 1 2 = lim x → 1 ⁡ 2 - x lim x → 1 ⁡ x - 1 2

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Analisando primeiramente o numerador:

lim x → 1 ⁡ 2 - x

Perceba que quando x → 1 , o nosso limite fica:

lim x → 1 ⁡ 2 - x = 2 - 1

lim x → 1 ⁡ 2 - x = 1

Logo, o resultado do nosso limite tende a um número positivo e próximo de 1 !!

Passo 3

Agora, analisando o denominador, temos:

lim x → 1 ⁡ x - 1 2

Perceba que quando x → 1 , o nosso limite fica:

lim x → 1 ⁡ x - 1 2 = 1 - 1 2

lim x → 1 ⁡ x - 1 2 = 0

Logo, o resultado do nosso limite tende a um número positivo e próximo de 0 !!

Passo 4

Dessa forma, temos uma divisão de dois números positivos.

E uma divisão entre dois números positivos resulta em um número positivo também!!!

Assim, podemos concluir que:

lim x → 1 ⁡ 2 - x x - 1 2 = + ∞

Passo 5

Resumindo: Uma vez que o numerador é positivo, e como o denominador se aproxima de zero por valores sempre positivos (devido a exponenciação quadradada), o valor da divisão será positivo.

Podemos confirmar o valor obtido no passo 4 através da análise do gráfico da função:

Resposta

lim x → 1 ⁡ 2 - x x - 1 2 = + ∞

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