Enunciado

A Alabama Instruments Company preparou uma linha de montagem para fabricar uma nova calculadora. A taxa de produção dessas calculadoras após t semanas ��

d x d t = 5000   1 - 100 t + 10 2             c a l c u l a d o r a s / s e m a n a

(Observe que a produção tende a 5 000 por semana à medida que passa o tempo, mas a produção inicial é baixa, pois os trabalhadores não estão familiarizados com as novas técnicas.)

Encontre o número de calculadoras produzidas no começo da terceira semana até o fim da quarta semana.

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! Temos uma fabricação de calculadora a uma taxa de:

d x d t = 5000   1 - 100 t + 10 2             c a l c u l a d o r a s / s e m a n a

A taxa de produção é dada em função das calculadoras produzidas por tempo, ou seja, d x d t . Então, x está representando o número de calculadoras, tudo certo até aqui?

Se queremos x, então vamos isolá-lo:

d x = 5000   1 - 100 t + 10 2 d t

Para obtermos o x a partir da derivada, integramos certo?

∫ 2 4 d x = ∫ 2 4 5000   1 - 100 t + 10 2 d t

Por quê usamos esses intervalos? Fácil ! Porque queremos a quantidade produzida do começo da terceira semana até o fim da quarta semana, totalizando 2 semanas. Entenderam aqui?

Estamos integrando do final da 2ª semana até o final da 4ª, ou seja, a 3ª e a 4ª semana completas.

Resolvendo:

x 4 - x 2 = ∆ x = ∫ 2 4 5000   1 - 100 t + 10 2 d t

Fazendo a distributiva dentro da integral:

∆ x = ∫ 2 4 5000 - 500000 t + 10 2 . d t  

Agora vamos separar a integral:

∆ x = ∫ 2 4 5000 . d t   - ∫ 2 4 500000 t + 10 2 . d t  

Passo 2

Para resolver vamos começar removendo as constantes da integral, não é?

∆ x = 5 × 10 ³ ∫ 2 4 d t   - 5 × 10 5 ∫ 2 4 1 t + 10 2 . d t  

∆ x = 5 × 10 ³ . t ] 4 2 - 5 × 10 5 ∫ 2 4 1 t + 10 2 . d t  

Agora vamos chamar:

t + 10 = u

Derivando:

d t = d u

Substituímos:

∆ x = 5 × 10 ³ . t ] 4 2 - 5 × 10 5 ∫ 2 4 1 u ² . d u  

∆ x = 5 × 10 ³ . t ] 4 2 - 5 × 10 5 ∫ 2 4 u - 2 . d u  

∆ x = 5 × 10 ³ . t ] 4 2 - 5 × 10 5 . u - 1 - 1 ] 4 2  

Substituímos u novamente:

∆ x = 5 × 10 ³ . t ] 4 2 - 5 × 10 5 . ( t + 10 ) - 1 - 1 ] 4 2  

Reorganizando:

∆ x = 5 × 10 ³ . t ] 4 2 + 5 × 10 5 t + 10 ] 4 2

∆ x = 5 × 10 ³ . t + 100 t + 10 4 2

Aplicando o intervalo:

∆ x = 5 × 10 ³ . 4 + 100 4 + 10 - 2 + 100 2 + 10

∆ x = 5 × 10 ³ . 4 + 100 14 - 2 + 100 12

Tirando o MMC:

∆ x = 5 × 10 ³ . 156 14 - 124 12

∆ x = 5 × 10 ³ . 136 168

Sendo assim:

∆ x ≅ 4048   c a l c u l a d o r a s  

Resposta

4048   c a l c u l a d o r a s   !  

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