10) Suponha f continua em [a, b] . Seja [c, d] -> R com g' contínua em [c, d], g(c) = a e g(d) = b . Suponha , ainda, que g'(u) > 0 em ]c, d[ . Seja c = u_0 < u_1 < u_2, ... < u_n = d uma partição de [c, d] e seja a = x_0 < x_1 < x_2 < ... < x_n = b partição de [a, b] , onde xi = g(ui) , para i variando de 0 a n .

  1. Mostre que, para todo i, i = 1, 2, ..., n , existe u̅ₜᵢ em [uᵢ₋₁, uᵢ] tal que
  2. Δ_xi = g'( u̅_i ) Δ_ui

  3. Conclua de (a) que
  4. ∑ i = 1 n f ( g ( u - i ) ) g '   u - i Δ u i = ∑ i = 1 n f c i Δ x i

    Onde ci = g(ūi)

  5. Mostre que existe M>0 tal que
  6. Δ_xi ≤ M Δ_ui

    Para i variando de 0 a n

  7. Conclua que

lim máx  Δ u i → 0 ⁡ ∑ i = 1 n f ( g ( u - i ) ) g '   u - i Δ u i = l i m m á x   Δ u i → 0 ∑ i = 1 n f c i Δ x i  

Ou seja,

∫ c d f g u g ' u d u = ∫ a b f x d x  

Passo 1

Vamos com calma que essa é grande.

  1. Pelo enunciado, sabemos que :
  2. Δ x i = x i - x i - 1 = g u i - g u i - 1

    Teorema do Valor Médio:

    Dada uma função f contínua e derivável em ] a ,   b [ então existe um ponto c nesse intervalo tal que:

    g b - g a b - a = g ' ( c )

    Agora vamos usar isso até porque tá bem parecido com o que queremos provar:

    g u i - g u i - 1 u i - u i - 1 = g ' u - i ,   onde esse valor   u - i   está no intervalo   ] u i - 1 ,   u i [

    Logo,

    Δ x i Δ u i = g ' u - i →   Δ x i = g ' ( u - i ) Δ u i

    Passo 2

  3. Continuaremos com bastante calma, pois essa questão não é moleza!

    Queremos chegar na seguinte conclusão:

    ∑ i = 1 n f ( g ( u - i ) ) g '   u - i Δ u i = ∑ i = 1 n f c i Δ x i

    Onde c i = g u - i

    Vamos ver a parte da esquerda:

    ∑ i = 1 n f ( g ( u - i ) ) g '   u - i Δ u i  

    usando que: c i = g u - i  

    Temos o seguinte:

    ∑ i = 1 n f ( c i ) g '   u - i Δ u i

    Do item a) temos que g '   u - i Δ u i = Δ x i  

    Substituindo:

    ∑ i = 1 n f ( c i ) g '   u - i Δ u i =   ∑ i = 1 n f ( c i ) Δ x i

    Ufa, essa assustou!

  4. Ele quer que a gente mostre que existe um M > 0 pra atender isso aqui ó:

Δ x i ≤ M Δ u i  

para i variando de 0 a n

Do item a) sabemos o seguinte:

Δ x i = g ' ( u - i ) Δ u i

Logo,

g ' u - i Δ u i ≤ M Δ u i → g ' u i ≤ M

Do enunciado, temos que g ' u > 0 → M > 0 😉

Passo 2

Agora vamos terminar!

d)

Queremos concluir isso aí: lim máx  Δ u i → 0 ⁡ ∑ i = 1 n f ( g ( u - i ) ) g '   u - i Δ u i = l i m m á x   Δ u i → 0 ∑ i = 1 n f c i Δ x i  

Olhando pro lado esquerdo:

lim máx  Δ u i → 0 ⁡ ∑ i = 1 n f ( g ( u - i ) ) g '   u - i Δ u i

Usando que:

Δ x i = g ' u - i Δ u i   e   c i = g u - i

Temos que:

lim máx  Δ u i → 0 ⁡ ∑ i = 1 n f ( g ( u - i ) ) g '   u - i Δ u i = l i m m á x   Δ u i → 0 ∑ i = 1 n f c i Δ x i  

Isto é,

∫ c d f g u g ' u d u = ∫ a b f x d x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados