Enunciado

51. a) Alguma das funções trigonométricas s e n   x , cos ⁡ x ,   t g   x ,   c o t g   x , sec ⁡ x o u   c o s s e c   x tem assíntotas horizontais?

b) Alguma das funções trigonométricas tem assíntotas verticais? Onde?

Passo 1

a) Então galera, como as funções trigonométricas são periódicas, temos que a imagem dessas funções sempre terão um intervalo bem definido. Se calcularmos os limites de x → + ∞ e x → - ∞ concluiremos que não há valores assintóticos para as funções trigonométricas.

Passo 2

b) As assíntotas verticais são os valores de x para os quais a função não existe, pessoal. Dessa forma, teremos que fazer uma análise de cada função, se liga:

As funções seno e cosseno admitem qualquer valor para x , o domínio são todos os reais. Para a função tangente, temos:

t g   x = s e n   x cos ⁡ x  

Dessa forma, como cos ⁡ x está no denominador, temos que cos ⁡ x ≠ 0 . Os valores para que o cosseno resulte em zero são:

x = n π + π 2 ,   n = 0 ,   ± 1 ,   ± 2 ,   …

E aí estão nossas assíntotas verticais da função tangente! Para a função secante temos:

sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x

Assim como a função tangente, aqui o cosseno também está no denominador, então as assíntotas verticais também estão em:

x = n π + π 2 ,   n = 0 ,   ± 1 ,   ± 2 ,   …

Passo 3

A função cotangente é definida da seguinte forma:

c o t g   x = cos ⁡ x s e n   x

Dessa forma, como s e n   x está no denominador, temos que s e n   x ≠ 0 . Os valores para que o seno resulte em zero são:

x = n π ,   n = 0 ,   ± 1 ,   ± 2 ,   …

E aí estão nossas assíntotas verticais da função cotangente! Por fim, para a função cossecante, temos que:

c o s s e c   x = 1 s e n   x

Assim como na função cotangente, a função cossecante possui s e n   x no denominador, então suas assíntotas verticais também estão em:

x = n π ,   n = 0 ,   ± 1 ,   ± 2 ,   …

E essa é a nossa análise das assíntotas verticais das funções trigonométricas, pessoal1

Resposta

a) Nenhuma função trigonométrica possui assíntota horizontal.

b) As funções tangente e secante possuem assíntotas verticais em:

x = n π + π 2 ,   n = 0 ,   ± 1 ,   ± 2 ,   …

As funções cotangente e cossecante possuem assíntotas verticais em:

x = n π ,   n = 0 ,   ± 1 ,   ± 2 ,   …

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da seguinte função: f x = ln ⁡ x
Calcule os limites aplicando os limites fundamentais. lim x → 0 ⁡ s e n 4 x 3 x
Calcule os limites aplicando os limites fundamentais. lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x 2
Calcule os limites aplicando os limites fundamentais. lim x → 0 ⁡ t g 3 x + 1 4 x + 1 3
Calcular lim x → ∞ ⁡ f ( x ) das funções dadas. Em seguida, conferir graficamente os resultados encontrados. f x = 1 + 1 x x + 5