Enunciado

Nos exercícios 31-36, determine os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões em torno dos eixos dados. Se preferir, você poderá usar anéis para resolvê-los.

32 – A região limitada por y =   x ,   y = 2   e   x = 0 , em torno:

D – Da reta y   =   2 .

Passo 1

Primeiramente organizando as funções em tono do eixo x:

y = x → x = y 2   e   x = 0

Assim os limites de integração são: a = 0   e   b = 2

Passo 2

Fórmula:

V = 2 π ∫ a b r a i o ⋅ a l t u r a   d x

Inserindo na fórmula teremos:

V = 2 π ∫ 0 2 ( 2 - y ) y 2 - 0   d y

V = 2 π ∫ 0 2 2 y 2 - y 3   d y

Resolvendo a integral teremos:

2 π 2 y 3 3 - y 4 4 0 2

Inserindo os limites de integração, obteremos o volume:

2 π 2 ⋅ 2 3 3 - 2 4 4 - 2 ⋅ 0 3 3 - 0 4 4  

Resolvendo:

2 π 16 3 - 16 4 = 2 π 16 3 - 4

Tirando o mínimo múltiplo comum e resolver as frações:

2 π 16 - 12 3 = 2 π 4 3 = 8 π 3   u . v .

Observação: Como pediu o volume e não foi informado uma unidade de medida utilizamos o termo u . v . que significa unidade de volume.

Resposta

8 π 3   u . v .

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