Enunciado

Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtidos com a rotação da região em torno dos eixos das coordenadas, mas isso nem sempre ocorre. Por exemplo, quando uma região gira em torno do eixo y e anéis são usados, devemos integrar em relação a y. No entanto, pode não ser possível expressar o integrando em termos de y . Em tais casos, o método da casca permite integrar em relação a x em vez de y. Os Exercícios 29 e 30 fornecem uma compreensão clara disso.

29 – Calcule o volume do sólido obtido com a rotação em tomo de cada eixo coordenado da região limitada por y = x e y = x 2 , usando:

A – O método da casca.

Passo 1

Antes de realizar o que se pede, iremos plotar o gráfico das funções dadas, assim teremos esta figura que segue os limites de 1 e 0.

Desta forma utilizaremos primeiro o método do casca em torno do eixo x e depois em torno do eixo y.

Passo 2

Primeiramente vamos verificar as funções para o eixo x.

x = y   e   x =   y

Assim é verificado para este método.

Utilizando a fórmula:

V = 2 π ∫ a b r a i o ( a l t u r a )   d y

Inserindo na fórmula teremos:

2 π ∫ 0 1 y y - y d y

2 π ∫ 0 1 y ⋅ y 1 2 - y ⋅ y   d y = 2 π ∫ 0 1 y 3 2 - y 2 d y

Resolvendo a integral teremos:

2 π y 3 2 + 1 3 2 + 1 - y 2 + 1 2 + 1 0 1 = 2 π y 5 2 5 2 - y 3 3 0 1 = 2 π 2 y 5 5 - y 3 3 0 1

Inserindo os limites de integração, obteremos o volume:

2 π 2 1 5 5 - 1 3 3 - 2 0 5 5 - 0 3 3  

Resolvendo:

2 π 2 5 - 1 3 - 0

Tirando o mínimo múltiplo comum e resolver as frações:

2 π 6 - 5 15 = 2 π 15 u . v .

Observação: Como pediu o volume e não foi informado uma unidade de medida utilizamos o termo u . v . que significa unidade de volume.

Passo 3

Para achar em relação ao eixo y utilizaremos a função e os limites de integração inseridos no gráfico do enunciado, assim:

2 π ∫ 0 1 x x - x 2 d x

Resolvendo a multiplicação na integral, por método da distributiva:

2 π ∫ 0 1 x 2 - x 3   d x

Resolvendo a integral:

2 π x 3 3 - x 4 4 0 1

Substituindo os limites de integração:

2 π 1 3 3 - 1 4 4 - 0 3 3 - 0 4 4 = 2 π 1 3 - 1 4 - 0

2 π 4 - 3 12 = 2 π 12 = π 6 u . v .

Resposta

Em torno do eixo x = 2 π 15 u . v .

Em torno do eixo y = π 6   u . v .

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