Enunciado

Algumas vezes uma solução de equilíbrio constante tem a propriedade de que soluções de um lado da solução de equilíbrio tendem a se aproximar dela, enquanto soluções do outro lado tendem as e afastar (veja a Figura2.5.9). nesse caso, a solução de equilíbrio é dita semiestável.

(a) Considere a equação

d y d t = k 1 - y 2

em que k é uma constante positiva. Mostre que y = 1 é o único ponto crítico correspondendo à solução de equilíbrio ϕ t = 1 .

(b) Esboce o gráfico de f y em função de y . mostre que y é uma função crescente de t para y < 1 e para y > 1 . A reta de fase tem setas apontando para cima tanto abaixo quanto acima de y = 1 . Assim, soluções abaixo da solução de equilíbrio aproximam-se dela, enquanto as soluções acima se afastam dela. Portanto, ϕ t = 1 é semiestável.

(c) Resolve a equação sujeita à condição inicial y 0 = y 0 , e confirme as conclusões do item (b).

Passo 1

Vamos responder as duas letras (a) e (b) juntas usando um gráfico com várias soluções, a função que estamos usando é:

f y = d y d t = k 1 - y 2

O gráfico então vai ser, usando k = 1 (qualquer k é válido desde que seja positivo):

Como dá para ver, o único ponto de equilíbrio está em y = 1 , as soluções vizinhas se aproximam se y < 1 e se afastam y > 1

Passo 2

c) A equação diferencial é separável, vamos então primeiro separar os termos diferenciais:

d y d t = k 1 - y 2

d y 1 - y 2 = k d t

Integrar dos dois lados:

1 1 - y = k t + c

E isolar y :

y = 1 - 1 k t + c

Substituindo a condição inicial y 0 = y 0 :

y 0 = 1 - 1 c

Tirando MMC:

y 0 = c - 1 c

Reescrevendo:

c - c y 0 = 1

Tirando fator comum:

c 1 - y 0 = 1

E isolando c :

c = 1 1 - y 0

A solução passa a ser:

y = 1 - 1 k t + 1 1 - y 0

Reorganizando:

y = 1 - 1 - y 0 k t ( 1 - y 0 ) + 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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