Enunciado

4- A altura h das ondas em mar aberto depende da velocidade v do vento e do tempo t durante o qual o vento se manteve naquela intensidade. Os valores da função h = f ( v , t ) são apresentados em pés na tabela.

a ) Qual o significado das derivadas parciais ∂ h / ∂ v e ∂ h / ∂ t ?

b ) Estime os valores de f v ( 40,15 ) e f t ( 40,15 ) . Quais são as interpretações práticas desses valores?

c )   Qual parece ser o valor do seguinte limite?

lim t → ∞ ⁡ ∂ h ∂ t

Passo 1

A derivada parcial ∂ h / ∂ v representa a taxa de variação da altura das ondas em relação com a velocidade do vento. Outra forma de se pensar é a velocidade de variação da altura das ondas com a variação da velocidade do vento, para essa taxa ser encontrada precisamos correlacionar essas duas variáveis e manter qualquer outra variável constante.

Agora a derivada parcial ∂ h / ∂ t representa a taxa de variação da altura das ondas em relação com a variação do tempo. As duas variáveis precisam estar correlacionadas e qualquer outra variável do problema precisa estar constante.

Passo 2

Os valores de f v e f t   pela tabela representam os valores da taxa de variação da velocidade em relação com o tempo e o valor da taxa de variação do tempo em relação com a velocidade e podemos encontrar de acordo com a definição da derivada abaixo:

f v d = Δ h + Δ v = f v + Δ v , t - f ( v , t ) Δ v ;             f v a = Δ h - Δ v = f v - Δ v , t - f ( v , t ) Δ v

f v = f v d + f v a 2

Pois precisamos encontrar a taxa de variação instantânea da velocidade e para isso vamos fazer a média aritmética da variação após com a variação anterior ao ponto dado. A média aritmética só é válida pois os pontos em v e em t são igualmente espaçados.

f t d = Δ h + Δ t = f v , t + Δ t - f ( v , t ) Δ t ;       f t a = Δ h - Δ t = f v , t - Δ t - f ( v , t ) Δ t

f t = f t d + f t a 2

Substituindo os valores dados no enunciado nós teremos:

f v d = f 50,15 - f ( 40,15 ) 10 = 36 - 25 10 = 1.1

f v a = f 30,15 - f ( 40,15 ) - 10 = 16 - 25 - 10 = 0.9

Logo:

f v = 1.1 + 0.9 2 = 1

Agora para f t temos:

f t d = f 40,15 + 5 - f ( 40,15 ) 5 = 28 - 25 5 = 0.6

f t a = f 40,15 - 5 - f ( 40,15 ) - 5 = 21 - 25 - 5 = 0.8

Dessa forma:

f t = 0.8 + 0.6 2 = 0.7

O valor de f v significa que no instante onde a velocidade em nós é de 40 nós e a duração é de 15 horas temos uma variação da altura das ondas no tempo de 1 pé por hora e f t representa a variação da altura da onda por nó, 0.7 pés por nó.

Passo 3

O valor de h é dado por:

h = f ( v , t )

Onde h é uma função das variáveis v e t . Fixando uma velocidade v e analisando somente os tempos t nós notamos que a medida que o tempo aumenta a duração h tende a permanecer a mesma, vamos analisar a velocidade de 30   n ó s . Você vê que não faz diferença na altura h para 40   h o r a s e 50   h o r a s . E isso independe para qualquer velocidade, no tempo infinito a altura para de variar, logo:

lim t → ∞ ⁡ ∂ h ∂ t = 0

Resposta

a )   P a s s o   1

b ) f v = 1 ;     f t = 0.7

c ) lim t → ∞ ⁡ ∂ h ∂ t = 0

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