Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.3 - Ex. 4
4- A altura das ondas em mar aberto depende da velocidade do vento e do tempo durante o qual o vento se manteve naquela intensidade. Os valores da função são apresentados em pés na tabela.
Qual o significado das derivadas parciais e ?
Estime os valores de e . Quais são as interpretações práticas desses valores?
Qual parece ser o valor do seguinte limite?
Passo 1
A derivada parcial representa a taxa de variação da altura das ondas em relação com a velocidade do vento. Outra forma de se pensar é a velocidade de variação da altura das ondas com a variação da velocidade do vento, para essa taxa ser encontrada precisamos correlacionar essas duas variáveis e manter qualquer outra variável constante.
Agora a derivada parcial representa a taxa de variação da altura das ondas em relação com a variação do tempo. As duas variáveis precisam estar correlacionadas e qualquer outra variável do problema precisa estar constante.
Passo 2
Os valores de e pela tabela representam os valores da taxa de variação da velocidade em relação com o tempo e o valor da taxa de variação do tempo em relação com a velocidade e podemos encontrar de acordo com a definição da derivada abaixo:
Pois precisamos encontrar a taxa de variação instantânea da velocidade e para isso vamos fazer a média aritmética da variação após com a variação anterior ao ponto dado. A média aritmética só é válida pois os pontos em v e em t são igualmente espaçados.
Substituindo os valores dados no enunciado nós teremos:
Logo:
Agora para temos:
Dessa forma:
O valor de significa que no instante onde a velocidade em nós é de 40 nós e a duração é de horas temos uma variação da altura das ondas no tempo de 1 pé por hora e representa a variação da altura da onda por nó, pés por nó.
Passo 3
O valor de é dado por:
Onde é uma função das variáveis e . Fixando uma velocidade e analisando somente os tempos nós notamos que a medida que o tempo aumenta a duração h tende a permanecer a mesma, vamos analisar a velocidade de . Você vê que não faz diferença na altura para e . E isso independe para qualquer velocidade, no tempo infinito a altura para de variar, logo: