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80. A temperatura em um ponto x ,   y de uma chapa de metal é dada por T x ,   y = 60 / ( 1 + x 2 + y 2 ) , onde T é medido em ° C e x , y em metros. Determine a taxa de variação da temperatura no ponto 1 ,   2 (a) com relação a x e (b)-com relação a y .

Passo 1

L e t r a   A :

Taxa de variação nada mais é do que derivada! Então se queremos a taxa de variação da Temperatura T com relação a x , basta calcular...

T x = ∂ T ∂ x

LEMBRE-SE: você deve considerar a outra variável (no caso y ) como uma constante, veja:

T x ,   y = 60 1 + x 2 + y 2       →           T x = ∂ ∂ x 60 1 + x 2 + y 2

Aplicando a derivada usando a regra da derivada de fração...

T x = ∂ ∂ x 60 ⋅ 1 + x 2 + y 2 - 60 ∂ ∂ x 1 + x 2 + y 2 1 + x 2 + y 2 2     →

T x = 0 ⋅ 1 + x 2 + y 2 - 60 2 x 1 + x 2 + y 2 2     →

T x = - 120 x 1 + x 2 + y 2 2    

Queremos a taxa de variação no ponto 1 ,   2 , isto é...

T x 1 ,   2 = - 120 ⋅ 1 1 + 1 2 + 2 2 2   =

3,33   ° C / m

Perceba que a unidade é ° C m já que temperatura é ° C e x é dado em metros!

Passo 2

L e t r a   B

Agora vamos fazer cálculos me semelhantes, mas dessa vez buscando T y ...

T y = ∂ ∂ y 60 1 + x 2 + y 2   →

T y = ∂ ∂ y 60 ⋅ 1 + x 2 + y 2 - 60 ∂ ∂ y 1 + x 2 + y 2 1 + x 2 + y 2 2     →

T y = - 60 2 y 1 + x 2 + y 2 2     →

T y = - 120 y 1 + x 2 + y 2 2

A taxa de variação na direção y no ponto 1 ,   2   então...

T x 1 ,   2 = - 120 ⋅ 2 1 + 1 2 + 2 2 2 =

6,67   ° C / m

Resposta

T x ( 1,2 ) = 3,33   ° C / m

T y ( 1,2 ) = 6,67   ° C / m

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