Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.8 - Ex. 23
Considere o problema de minimizar a função na curva (uma piriforme).
(a) Tente utilizar multiplicadores de Lagrange para resolver este problema.
(b) Mostre que o valor mínimo é , mas que a condição não é satisfeita para nenhum valor de .
(c) Explique por que os multiplicadores de Lagrange falham em encontrar o mínimo neste caso.
Passo 1
(a) Para usar multiplicadores de Lagrange, devemos ter:
Lembrando que e :
Então ficamos com três equações:
Passo 2
Olhando pra primeira equação, vemos que , o que nos leva a concluir na segunda:
Agora, podemos substituir esse valor de na terceira equação:
Mas se , isso nos levaria a uma contradição na primeira equação, então .
Portanto o mínimo é:
Passo 3
(b) Vamos analisar a curva de restrição:
Podemos verificar que essa desigualdade só se satisfaz quando . E como , basta pegar o menor valor possível de para obtermos o mínimo. Então, de fato, é o mínimo.
Porém, não existe nenhum valor de que consiga satisfazer a seguinte equação, se :
Passo 4
(c) No ponto de mínimo, teríamos , mas o método dos multiplicadores de Lagrange requer em qualquer ponto da curva de restrição.
Resposta
(a)
(c)