Enunciado

Analise as funções trigonométricas f nos intervalos especificados indicando onde f é crescente, decrescente, côncava para cima, côncava para baixo, e as coordenadas x de todos os pontos de inflexão. Verifique se seus resultados estão em conformidade com o gráfico de f gerado por algum recurso computacional.

35. f x = 1 - tg ⁡ x 2 ,   ( - π ,   π )

Passo 1

Peguemos o gráfico da função, dentro do intervalo pedido, pra já termos uma melhor ideia dos nossos resultados:

Passo 2

Pelo gráfico já podemos afirmar que f é sempre decrescente, pois os valores de f ( x ) sempre crescem da esquerda pra direita. O intervalo então será:

( - π ,   π )

Passo 3

No intervalo observado, f não é crescente em nenhuma parte. Logo, não há intervalo!

Passo 4

Pra verificar os intervalos de concavidade voltada pra cima e pra baixo, precisamos dos pontos de inflexão, que se determinam quando igualamos a derivada segunda da função a zero.

Temos:

f ' x = - sec 2 ⁡ x 2 2

f ' ' x = - sec 2 ⁡ x 2 tg ⁡ x 2 2

Igualando a zero, vamos ter:

- sec 2 ⁡ x 2 tg ⁡ x 2 2 = 0

sec 2 ⁡ x 2 tg ⁡ x 2 = 0

Temos duas possibilidades:

sec 2 ⁡ x 2 = 0

ou

tg ⁡ x 2 = 0

Resolvendo elas, respectivamente:

sec 2 ⁡ x 2 = 0

Tirando a raiz:

sec ⁡ x 2 = 0

Da trigonometria, não existem quaisquer ângulos cuja secante valha 0. Assim, nos resta a segunda opção de resposta:

tg ⁡ x 2 = 0

Pra que a tangente de um ângulo valha zero, esse ângulo precisa ser zero. Assim:

x 2 = 0

∴ x = 0

Passo 5

Logo, em x = 0 temos o nosso ponto de inflexão.

Assim, os intervalos de concavidade voltada pra cima e pra baixo são:

Pra cima: ( - π ,   0 )

Pra baixo: ( 0 ,   π )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Use o gráfico dado de f para encontrar o seguinte:O maior intervalo aberto no qual f é crescenteO maior intervalo aberto no qual f é decrescenteO maior intervalo aberto no qual f é côncava para cimaO