Enunciado

Encontre a fórmula para f^(- 1) (x)

1 6 ) f (x) = {[[2 x , x <= 0],[x^2 , x > 0]])

Passo 1

Toda vez que formos inverter uma função galera, vamos seguir três passos, ok? São eles:

y = f (x)

f (y) = x

f^(- 1) (x) = y

Por extenso, temos:

  • Passo 1: Escrever a função como y igual a uma função de x
  • Passo 2: Isolar x de forma que possamos escrever ele como uma função de y
  • Passo 3 : Trocar x , y de lugar e chamar a nova função de x encontrada da inversa f^(- 1) (x)

Bora lá?

Passo 2

Já que a gente tem duas leis de formação, vamos com calma. Pra primeira, temos:

y = 2 x , x <= 0

Portanto, pra invertermos esse pedaço, basta dividirmos os dois lados por 2 :

(y)/(2) = (2 x)/(2)

x = (y)/(2)

Só que temos uma coisa importante pra fazer ainda, considerar que x <= 0 ! Se considerarmos essa inequação, concluímos que é válido também:

y <= 0

Juntando esses resultados, temos:

x = (y)/(2) , y <= 0

E trocando x , y de lugar, a primeira lei de formação se torna:

y = (x)/(2) , x <= 0

Bora pra próxima lei de formação!

Passo 3

Vamos repetir essa ideia, ok? Só que agora, pra:

y = x^2 , x > 0

Pra inverter essa lei de formação, podemos tomar a raiz quadrada dos dois lados:

x = +- sqrt(y)

Só que como x > 0 , podemos excluir o resultado negativo e obter:

x = sqrt(y)

Note que como tamos falando de uma raiz de y , está implícito que y > 0 ! Portanto, juntando tudo tudinho, chegamos a:

x = sqrt(y) , y > 0

Então pra achar a inversa desse carinha basta trocar x , y de lugar:

y = sqrt(x) , x > 0

Passo 4

Bora juntar os resultados. No passo 2 e 3 , achamos as respectivas inversas:

y = (x)/(2) , x <= 0

y = sqrt(x) , x > 0

Portanto, seja:

f (x) = {[[2 x , x <= 0],[x^2 , x > 0]])

A nossa inversa será:

f^(- 1) (x) = {[[(x)/(2) , x <= 0],[sqrt(x) , x > 0]])

E olha que bacana que fica o gráfico das funções:

Resposta

f^(- 1) (x) = {[[(x)/(2) , x <= 0],[sqrt(x) , x > 0]])

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