Enunciado

Encontre a fórmula para f^(- 1) (x) e de o domínio da função f^(- 1)

18 ) f (x) = sqrt(x + 3)

Passo 1

Toda vez que formos inverter uma função galera, vamos seguir três passos, ok? São eles:

y = f (x)

f (y) = x

f^(- 1) (x) = y

Por extenso, temos:

  • Passo 1: Escrever a função como y igual a uma função de x
  • Passo 2: Isolar x de forma que possamos escrever ele como uma função de y
  • Passo 3 : Trocar x , y de lugar e chamar a nova função de x encontrada da inversa f^(- 1) (x)

Bora lá?

Passo 2

Show então, nossa função vai ser:

y = sqrt(x + 3)

Uma coisa importante sobre essa função é que, como ela é uma raiz par, o interior dela não pode ser menor que zero! Logo:

x + 3 >= 0

x >= - 3

Além disso, seu resultado nunca vai ser negativo! Então nossa função também terá:

y >= 0

Beleza, agora, quando a gente for inverter essa função, vamos primeiro elevar os dois lados ao quadrado:

(y)^2 = (sqrt(x + 3))^2

y^2 = x + 3

Pra depois subtrair 3 dos dois lados:

y^2 - 3 = x + 3 - 3

x = y^2 - 3

Como y >= 0 , juntando esse fato a equação acima, ao trocarmos x , y de lugar...

x = y^2 - 3 , y >= 0

y = x^2 - 3 , x >= 0

... a nossa inversa aparece, junto do seu domínio!

f^(- 1) (x) = x^2 - 3

D_f^(- 1) = x in [ 0 , + oo [

Resposta

f^(- 1) (x) = x^2 - 3

D_f^(- 1) = x in [ 0 , + oo [

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