Enunciado

Seja g x = x . Encontre:

(a) g 5 s + 2

(b) g ( x + 2 )

(c) 3 g ( 5 x )

(d) 1 g x

(e) g ( g ( x ) )

(f) g x 2 - g ( x 2 )

(g) g 1 x

(h) g x - 1 2

(i) g ( x + h )

Passo 1

(a) Queremos g 5 s + 2 . Então, vamos substituir x por 5 s + 2 na função de g :

g x = x

g 5 s + 2 = 5 s + 2

Bem, é só isso!

Passo 2

(b) Queremos g ( x + 2 ) . Então, vamos substituir x por x + 2 na função de g :

g x = x

g x + 2 = x + 2

Passo 3

(c) Queremos 3 g ( 5 x ) . Primeiro, vamos calcular g ( 5 x ) :

g ( x )   = x

g ( 5 x )   = 5 x

Agora, 3 g ( 5 x ) :

3 g ( 5 x ) = 3 5 x

Passo 4

(d) Queremos 1 g x , ou seja, o inverso da função. Bom, temos g ( x ) :

g x = x

O inverso dele seria:

g x = 1 x

Passo 5

(e) Queremos g g x . Temos que:

g ( x )   = x

Então, na verdade, queremos g x , é só substituir x por x em g :

g ( x ) = x

Como podemos escrever que x = x 1 / 2 :

g ( x ) = x 1 2 1 / 2

E, pela propriedade da potenciação, podemos multiplicar os dois expoentes 1 2 × 1 2 = 1 4 . Assim:

g ( x ) = x 1 / 4

Passo 6

(f) Queremos g x 2 - g ( x 2 ) . Primeiro, vamos calcular g ( x 2 ) :

g x = x

g x 2 = x 2

Com isso, podemos tirar a raiz, lembrando que teremos um valor positivo e outro negativo ao calcular a raiz quadrada:

g x 2 = ± x

Para tirar esse ± , podemos colocar o módulo:

g x 2 = x

Agora, vamos calcular g x 2 :

g x 2 = x 2

Aqui, estamos elevando uma raiz ao quadrado, logo, não teremos valores positivos ou negativos, teremos apenas o número dentro da raiz:

g x 2 = x

Então:

g x 2 - g x 2 = x - x

Sabendo que para x ≥ 0 → x = x e para x < 0 → x = - x , podemos escrever por partes:

Para x ≥ 0 :

g x 2 - g x 2 = x - x = 0

Para x < 0 :

g x 2 - g x 2 = x - ( - x ) = 2 x

Juntando as informações:

g x 2 - g x 2 = 0 ,   x ≥ 0 2 x ,   x < 0

Mas as duas respostas estão certas! O problema não especifica como quer.

Passo 7

(g) Queremos g 1 x . Bom, só substituir x por 1 x :

g x = x

g 1 x = 1 x

Podemos arrumar, pois 1 x = x - 1 e x = x 1 / 2 :

g 1 x = x 1 2 - 1 1 / 2

E, pela propriedade da potenciação, podemos multiplicar os dois expoentes 1 2 × - 1 × 1 2 = - 1 4 . Assim:

g 1 x = x - 1 / 4

Passo 8

(h) Queremos g x - 1 2 . Bom, só substituir x por x - 1 2 :

g x = x

g x - 1 2 = x - 1 2

Com isso, podemos tirar a raiz, lembrando que teremos um valor positivo e outro negativo ao calcular a raiz quadrada:

g x - 1 2 = ± ( x - 1 )

Para tirar esse ± , podemos colocar o módulo:

g x - 1 2 = x - 1

Sabendo que para x ≥ 0 → x = x e para x < 0 → x = - x , podemos escrever por partes:

Para x ≥ 0 :

g x - 1 2 = x - 1

Para x < 0 :

g x - 1 2 = - x - 1 = - x + 1

Juntando as informações:

g x - 1 2 = x - 1 ,   x ≥ 0 - x + 1 ,   x < 0

Mas as duas respostas estão certas! O problema não especifica como quer.

Passo 9

(i) Queremos g ( x + h ) . Bom, só substituir x por x + h :

g x = x

g x + h = x + h

Resposta

(a) 5 s + 2

(b) x + 2

(c) 3 5 x

(d) 1 x

(e) x 1 / 4

(f) x - x

(g)   x - 1 / 4

(h)   x - 1

(i)   x + h

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