Enunciado

Aplique a fórmula de Taylor para expressar o polinômio

P x = 4 x 3 + 5 x 2 - 2 x + 1

Como um polinômio em potências de x + 2

Passo 1

Para calcularmos a formula de Taylor, temos que lembrar como ela é:

P n x = ∑ i = 0 n f i x 0 i ! x - x 0 i

Para calcular o polinômio de Taylor, temos que determinar que é o ponto central do polinômio, o nosso x 0 , e fazer as derivadas para achar o seu padrão.

Temos que achar as derivadas desse nosso polinômio.

Ele quer o polinômio como potências de x + 2 , olhando a fórmula do polinômio de Taylor, vamos ter que:

x - x 0 = x + 2

Logo,

x 0 = - 2

Passo 2

Vamos para as derivadas agora, vamos ter:

P x = 4 x 3 + 5 x 2 - 2 x + 1

Fazendo as derivadas:

P ' x = 12 x 2 + 10 x - 2

P ' ' x = 24 x + 10

P ' ' ' x = 24

A partir da 4 ª derivada, vai zerar.

Então vamos ter:

P - 2 = - 7

P ' - 2 = 26

P ' ' - 2 = - 38

P ' ' ' - 2 = 24

P i - 2 = 0 ,   c o m   i ≥ 4

Passo 3

O nosso polinômio de Taylro vai ficar:

P n x = ∑ i = 0 n f i x 0 i ! x - x 0 i = - 7 0 ! x + 2 0 + 26 1 ! x + 2 1 + - 38 2 ! x + 2 2 + 24 3 ! x + 2 3

P n x = - 7 x + 2 0 + 26 x + 2 1 - 19 x + 2 2 + 4 x + 2 3

P n x = - 7 + 26 x + 2 - 19 x + 2 2 + 4 x + 2 3

Esse ´´e o polinômio que ele pediu

Resposta

P n x = - 7 + 26 x + 2 - 19 x + 2 2 + 4 x + 2 3

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