Enunciado

Encontrar o polinômio de Taylor de grau n no ponto c e escrever a função que define o resto na forma de Lagrange, das seguintes funções:

y = x ,   n = 3 ,   c = 1

Passo 1

O polinômio de Taylor de ordem n no ponto c é obtido assim:

P n x = f c + f ' c x - c + f ' ' c 2 ! x - c 2 + … + f n c n ! x - c n

Além disso, o resto na forma de Lagrange, como a gente viu, fica assim:

R n x = f n + 1 z n + 1 ! x - c n + 1

A parte mais trabalhosa é essa de ter que calcular todas as derivadas, mas o aluno Responde Aí não tem medo de conta, então bora lá!

Passo 2

Primeiro vamos calcular todas as derivadas: não vou explicar passo a passo, mas com tudo que aprendemos até aqui vai ficar bem mastigadinho, fica tranquilo. Em vez do y que ele deu no enunciado, como essa parada é função de x , vamos manter o f ( x ) , ok? Não esquece da regra da cadeia! Vamos até a derivada de grau 3 , já que queremos o Taylor dessa ordem.

f x = x

f ' x = 1 2 x

f 2 ' x 2 ! = 1 2 × - 1 4 x 3 2  

f 3 ' x 3 ! = 1 6 × 3 8 x 5 2

Então o polinômio de Taylor vai ser:

P 3 x = c + 1 2 c x - c - 1 8 c 3 2 x - c 2 + 1 16 c 5 2 x - c 3

Passo 3

No ponto c = 1 :

P 3 x = 1 + 1 2 1 x - 1 - 1 8 × 1 3 2 x - 1 2 + 1 16 × 1 5 2 x - 1 3

Arrumando,

P 3 x = 1 + x - 1 2 - x - 1 2 8 + x - 1 3 16

Passo 4

E agora para o resto, falta só a gente achar a derivada de ordem 4 . Já temos a de ordem 3 :

f 3 ' x = 3 8 x 5 2

Derivando,

f 4 ' x = - 15 16 x 7 2

Então o resto vai ser:

R 3 x = - 15 16 z 7 2 x - 1 4 4 !

Que fica:

R 3 x = - 15 16 z 3 z × 1 24 x - 1 4

Resposta

Em c = 1 :

P 3 x = 1 + x - 1 2 - x - 1 2 8 + x - 1 3 16

R 3 x = - 15 16 z 3 z × 1 24 x - 1 4

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